1.
三边
都相等的三角形叫作等边三角形.答案：1. 三边
解析：
【分析】
这道题考查等边三角形的基础定义，解题时先回忆三角形按边分类的相关概念：不等边三角形三条边均不相等，等腰三角形至少有两条边相等，而等边三角形是特殊的等腰三角形，其核心定义从边的相等关系出发，要求所有边都相等，因此空缺处应填指代三条边的内容。
【解析】
根据等边三角形的标准定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，因此本空应填入“三边”。
【答案】
三边
【知识点】
等边三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要熟练掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.95
这道题考查等边三角形的基础定义，解题时先回忆三角形按边分类的相关概念：不等边三角形三条边均不相等，等腰三角形至少有两条边相等，而等边三角形是特殊的等腰三角形，其核心定义从边的相等关系出发，要求所有边都相等，因此空缺处应填指代三条边的内容。
【解析】
根据等边三角形的标准定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，因此本空应填入“三边”。
【答案】
三边
【知识点】
等边三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要熟练掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.95
2.等边三角形的性质:(1)等边三角形是
(2)等边三角形的各角都等于
轴对称
图形,有3
条对称轴.(2)等边三角形的各角都等于
60°
.答案：2.(1)轴对称 3 (2)60°
解析：
【分析】
解题时先回忆相关基础概念：①轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后直线两侧部分能完全重合的图形；②等边三角形边、角的特征，结合三角形内角和定理推导角度。
针对第(1)问：先判断等边三角形是否符合轴对称图形的特征，再数出符合要求的对称轴数量；针对第(2)问：利用等边三角形三个内角相等的性质，结合三角形内角和为180°计算单个内角的度数。
【解析】
(1) 根据轴对称图形的定义，等边三角形沿任意一条边上的高（或对应角的角平分线、对应边的中线）所在直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，因此等边三角形是轴对称图形。等边三角形共有3条这样的直线，即有3条对称轴。
(2) 等边三角形的三个内角大小相等，又因为三角形内角和为180°，因此每个角的度数为180°÷3=60°，即等边三角形的各角都等于60°。
【答案】
(1)轴对称 3 (2)60°
【知识点】
轴对称图形、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对等边三角形基本性质的掌握程度，相关性质是解决等边三角形相关计算、证明问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相关基础概念：①轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后直线两侧部分能完全重合的图形；②等边三角形边、角的特征，结合三角形内角和定理推导角度。
针对第(1)问：先判断等边三角形是否符合轴对称图形的特征，再数出符合要求的对称轴数量；针对第(2)问：利用等边三角形三个内角相等的性质，结合三角形内角和为180°计算单个内角的度数。
【解析】
(1) 根据轴对称图形的定义，等边三角形沿任意一条边上的高（或对应角的角平分线、对应边的中线）所在直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，因此等边三角形是轴对称图形。等边三角形共有3条这样的直线，即有3条对称轴。
(2) 等边三角形的三个内角大小相等，又因为三角形内角和为180°，因此每个角的度数为180°÷3=60°，即等边三角形的各角都等于60°。
【答案】
(1)轴对称 3 (2)60°
【知识点】
轴对称图形、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对等边三角形基本性质的掌握程度，相关性质是解决等边三角形相关计算、证明问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
3.等边三角形的判定:(1)三个角都________的三角形是等边三角形.
(2)有一个角是$60°$的________三角形是等边三角形.
(2)有一个角是$60°$的________三角形是等边三角形.
答案：3.(1)相等 (2)等腰
解析：
【分析】
本题考查等边三角形的判定定理，解题时可结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质推导判定定理内容，对应填写空缺部分：
1. 针对第一空，先回忆三角形内角和为180°，若三个角相等，可推出每个角均为60°，结合等角对等边可得到三条边相等，符合等边三角形的定义；
2. 针对第二空，从等腰三角形两底角相等的性质出发，若等腰三角形有一个角为60°，可推导得三个角均为60°，即为等边三角形。
【解析】
(1) 已知三角形内角和为180°，若三角形的三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，根据“等角对等边”可得三角形的三条边都相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第一空填“相等”。
(2) 等腰三角形的两个底角相等，若等腰三角形有一个角是$60°$：若该角为顶角，则两个底角的度数均为$(180°-60°)÷2=60°$；若该角为底角，则另一个底角也为$60°$，顶角度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个角均为$60°$，是等边三角形，因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，第二空填“等腰”。
【答案】
(1)相等；(2)等腰
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理的识记和理解，熟练掌握等边三角形的相关判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的判定定理，解题时可结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质推导判定定理内容，对应填写空缺部分：
1. 针对第一空，先回忆三角形内角和为180°，若三个角相等，可推出每个角均为60°，结合等角对等边可得到三条边相等，符合等边三角形的定义；
2. 针对第二空，从等腰三角形两底角相等的性质出发，若等腰三角形有一个角为60°，可推导得三个角均为60°，即为等边三角形。
【解析】
(1) 已知三角形内角和为180°，若三角形的三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，根据“等角对等边”可得三角形的三条边都相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第一空填“相等”。
(2) 等腰三角形的两个底角相等，若等腰三角形有一个角是$60°$：若该角为顶角，则两个底角的度数均为$(180°-60°)÷2=60°$；若该角为底角，则另一个底角也为$60°$，顶角度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个角均为$60°$，是等边三角形，因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，第二空填“等腰”。
【答案】
(1)相等；(2)等腰
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理的识记和理解，熟练掌握等边三角形的相关判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边是斜边的
一半
.答案：4. 一半
解析：
【分析】
本题考查直角三角形中30°锐角对应的边角性质，解题时可直接回忆课本对应性质作答，也可通过构造辅助线推导验证：明确题设为直角三角形且存在30°锐角，可通过延长短直角边构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质推导30°角对的直角边与斜边的数量关系。
【解析】
我们可通过几何证明推导结论：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$。
延长$BC$至点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore AC$垂直平分$BD$，$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ BAC=30°$，$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABD$是含$60°$内角的等腰三角形，属于等边三角形，
$\therefore AB=BD$，又$\because BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，即30°角所对的直角边是斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
直角三角形30°角性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对几何特殊性质的记忆和理解，该性质是几何计算与证明中常用的边角关系，需要熟练掌握并灵活应用。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形中30°锐角对应的边角性质，解题时可直接回忆课本对应性质作答，也可通过构造辅助线推导验证：明确题设为直角三角形且存在30°锐角，可通过延长短直角边构造等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质推导30°角对的直角边与斜边的数量关系。
【解析】
我们可通过几何证明推导结论：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$。
延长$BC$至点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore AC$垂直平分$BD$，$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ BAC=30°$，$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABD$是含$60°$内角的等腰三角形，属于等边三角形，
$\therefore AB=BD$，又$\because BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，即30°角所对的直角边是斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
直角三角形30°角性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对几何特殊性质的记忆和理解，该性质是几何计算与证明中常用的边角关系，需要熟练掌握并灵活应用。
【难度系数】
0.9
1. 等边三角形对称轴的条数是 （
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案：1.C
解析：
【分析】
解题时首先要明确对称轴的定义：沿某条直线折叠图形，直线两侧的部分可以完全重合，这条直线就是图形的对称轴。其次回忆等边三角形的性质：等边三角形三条边、三个角均相等，每条边上的高、中线、对应角的角平分线三线合一。我们只需要判断有几条满足对称轴定义的直线即可：分别过等边三角形的三个顶点作对边的垂线，这三条线都满足对称轴的要求，数出总条数就能得到答案。
【解析】
根据对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。
等边三角形的每条边上的高、中线以及对应内角的角平分线互相重合，沿这三条线折叠时，等边三角形直线两侧的部分均可以完全重合，因此等边三角形共有3条对称轴。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，只要熟练掌握轴对称的相关定义和等边三角形的基本性质就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确对称轴的定义：沿某条直线折叠图形，直线两侧的部分可以完全重合，这条直线就是图形的对称轴。其次回忆等边三角形的性质：等边三角形三条边、三个角均相等，每条边上的高、中线、对应角的角平分线三线合一。我们只需要判断有几条满足对称轴定义的直线即可：分别过等边三角形的三个顶点作对边的垂线，这三条线都满足对称轴的要求，数出总条数就能得到答案。
【解析】
根据对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。
等边三角形的每条边上的高、中线以及对应内角的角平分线互相重合，沿这三条线折叠时，等边三角形直线两侧的部分均可以完全重合，因此等边三角形共有3条对称轴。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，难度较低，只要熟练掌握轴对称的相关定义和等边三角形的基本性质就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列条件中,不能得到等边三角形的是 (
A.有两个内角是$60°$的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是$60°$的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
D
)A.有两个内角是$60°$的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是$60°$的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
答案：2.D
解析：
【分析】
解题时先回忆等边三角形的判定定理，再逐一验证每个选项是否符合判定要求，不符合的即为本题答案。首先明确等边三角形的常见判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角均为60°的三角形是等边三角形；③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 三角形内角和为180°，若有两个内角是60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意，排除；
B. 三边都相等的三角形是等边三角形的定义，可直接判定为等边三角形，不符合题意，排除；
C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定定理，无论这个60°是顶角还是底角，最终三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意，排除；
D. 等腰三角形本身两个底角相等，对应的两个外角也相等，因此有两个外角相等的等腰三角形可能只是普通等腰三角形，比如顶角为90°的等腰直角三角形，两个底角的外角均为135°相等，但它不是等边三角形，该条件不能判定得到等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题侧重考查等边三角形的判定规则，需要熟练掌握等边三角形的三类判定方法，同时注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，逐一验证选项即可准确解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆等边三角形的判定定理，再逐一验证每个选项是否符合判定要求，不符合的即为本题答案。首先明确等边三角形的常见判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角均为60°的三角形是等边三角形；③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 三角形内角和为180°，若有两个内角是60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意，排除；
B. 三边都相等的三角形是等边三角形的定义，可直接判定为等边三角形，不符合题意，排除；
C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定定理，无论这个60°是顶角还是底角，最终三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意，排除；
D. 等腰三角形本身两个底角相等，对应的两个外角也相等，因此有两个外角相等的等腰三角形可能只是普通等腰三角形，比如顶角为90°的等腰直角三角形，两个底角的外角均为135°相等，但它不是等边三角形，该条件不能判定得到等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题侧重考查等边三角形的判定规则，需要熟练掌握等边三角形的三类判定方法，同时注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，逐一验证选项即可准确解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在等边$△ ABC$的$AC$边上取中点$D$,在$BC$的延长线上取一点$E$,使$CE=CD$,连接$BD,DE$.求证:$∠ ABD=∠ E$.
答案：3. 证明:$\because △ ABC$为等边三角形,$D$是$AC$边的中点，
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
解析：
【分析】
要证明∠ABD=∠E，可通过分别计算两个角的度数完成证明。首先利用等边三角形“三线合一”的性质，由D是AC中点可得BD是∠ABC的角平分线，可求出∠ABD的度数；再根据CE=CD得到△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质求出∠E的度数，最后对比两个角的度数即可得证。
【解析】
证明：
$\because △ ABC$为等边三角形,$D$是$AC$边的中点，
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
【答案】
证明:$\because △ ABC$为等边三角形,$D$是$AC$边的中点，
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察等边三角形、等腰三角形性质以及三角形外角性质的综合应用，解题时只要理清边角之间的对应关系，逐步推导即可完成证明，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABD=∠E，可通过分别计算两个角的度数完成证明。首先利用等边三角形“三线合一”的性质，由D是AC中点可得BD是∠ABC的角平分线，可求出∠ABD的度数；再根据CE=CD得到△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质求出∠E的度数，最后对比两个角的度数即可得证。
【解析】
证明：
$\because △ ABC$为等边三角形,$D$是$AC$边的中点，
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
【答案】
证明:$\because △ ABC$为等边三角形,$D$是$AC$边的中点，
$\therefore BD⊥ AC,∠ DBE=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°.$
$\because CD=CE,\therefore ∠ CDE=∠ E.$
$\because ∠ ACB=60°,$且$∠ ACB$为$△ CDE$的外角，
$\therefore ∠ CDE+∠ E=60°,$
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°,\therefore ∠ ABD=∠ E.$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察等边三角形、等腰三角形性质以及三角形外角性质的综合应用，解题时只要理清边角之间的对应关系，逐步推导即可完成证明，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4. 如图，P为AB上一点，$△ APC$和$△ BPD$都是等边三角形，连接AD，BC. 求证：$AD=BC$.
答案：4. 证明:$\because △ APC$和$△ BPD$都是等边三角形，
$\therefore AP=CP,DP=BP,∠ APC=∠ DPB=60°,$
$\therefore ∠ APC+∠ CPD=∠ DPB+∠ CPD,$
即$∠ APD=∠ CPB.$
在$△ PAD$和$△ PCB$中,$\begin{cases} AP=CP,\\ ∠ APD=∠ CPB,\\ DP=BP, \end{cases}$
$\therefore △ PAD≌ △ PCB(\mathrm{SAS}),\therefore AD=BC.$
$\therefore AP=CP,DP=BP,∠ APC=∠ DPB=60°,$
$\therefore ∠ APC+∠ CPD=∠ DPB+∠ CPD,$
即$∠ APD=∠ CPB.$
在$△ PAD$和$△ PCB$中,$\begin{cases} AP=CP,\\ ∠ APD=∠ CPB,\\ DP=BP, \end{cases}$
$\therefore △ PAD≌ △ PCB(\mathrm{SAS}),\therefore AD=BC.$
解析：
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AD属于△APD，BC属于△CPB，因此只需证明△APD≌△CPB即可。首先根据等边三角形的性质可得到两组对应边相等：AP=CP、DP=BP，同时可得∠APC=∠BPD=60°，两个等角同时加上公共角∠CPD，即可推导出两边的夹角∠APD=∠CPB，满足SAS全等判定的条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可得到AD=BC。
【解析】
证明：$\because △ APC$和$△ BPD$都是等边三角形，
$\therefore AP=CP,DP=BP,∠ APC=∠ DPB=60°,$
$\therefore ∠ APC+∠ CPD=∠ DPB+∠ CPD,$
即$∠ APD=∠ CPB.$
在$△ PAD$和$△ PCB$中,$\begin{cases} AP=CP,\\ ∠ APD=∠ CPB,\\ DP=BP, \end{cases}$
$\therefore △ PAD≌ △ PCB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD=BC.$
【答案】
$AD=BC$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础证明题，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边、角相等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AD属于△APD，BC属于△CPB，因此只需证明△APD≌△CPB即可。首先根据等边三角形的性质可得到两组对应边相等：AP=CP、DP=BP，同时可得∠APC=∠BPD=60°，两个等角同时加上公共角∠CPD，即可推导出两边的夹角∠APD=∠CPB，满足SAS全等判定的条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可得到AD=BC。
【解析】
证明：$\because △ APC$和$△ BPD$都是等边三角形，
$\therefore AP=CP,DP=BP,∠ APC=∠ DPB=60°,$
$\therefore ∠ APC+∠ CPD=∠ DPB+∠ CPD,$
即$∠ APD=∠ CPB.$
在$△ PAD$和$△ PCB$中,$\begin{cases} AP=CP,\\ ∠ APD=∠ CPB,\\ DP=BP, \end{cases}$
$\therefore △ PAD≌ △ PCB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD=BC.$
【答案】
$AD=BC$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础证明题，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边、角相等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8