【分析】
这道题考查勾股定理的基础概念，解题时先回忆勾股定理的具体内容：直角三角形中，若两条直角边长度为a、b，斜边长度为c，则满足$a^2+b^2=c^2$，对应文字表述就是两条直角边的平方和与斜边平方的等量关系，直接根据定义补全内容即可。
【解析】
根据勾股定理的标准定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此空缺处填写“斜边的平方”。
【答案】
斜边的平方
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对勾股定理核心内容的识记，牢记定理内容就能快速作答。
【难度系数】
0.95

【分析】
本题考查我国古代对直角三角形各边的称谓相关常识，属于识记类题目。解题时只需要回忆勾股定理相关的古代命名规则：直角三角形中，按照古人的定义，短直角边、长直角边、斜边有固定的专属称呼，直接对应填空即可。
【解析】
根据我国古代对直角三角形各边的命名规则：较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此三个空依次填入勾、股、弦。
【答案】
勾 股 弦
【知识点】
勾股定理相关常识
【点评】
本题是基础识记题，主要考查对勾股定理相关的传统数学文化常识的记忆，只要牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知∠A+∠C=90°，先确定三角形中的直角是哪个角；再根据直角三角形中斜边为直角所对的边，确定斜边对应的边长；最后结合勾股定理的内容，对应选出正确的等式即可。
【解析】
∵ 在△ABC中，内角和为180°，且∠A + ∠C = 90°
∴ ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 90° = 90°
即△ABC是直角三角形，且斜边为∠B对应的对边长b，两条直角边长分别为a、c
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先判断出直角三角形的直角和对应的斜边，再结合勾股定理列式判断即可，考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是直角三角形求边长的问题，首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。首先判断边的类型：∠C是直角，所以∠C对的边AB是斜边，AC、BC是两条直角边，已知两条直角边的长度，直接代入勾股定理公式计算斜边长度即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ AB是斜边，AC、BC为直角边，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将$AC=5$，$BC=12$代入得：
$AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
∵ AB为三角形的边长，长度为正数，
∴ $AB = \sqrt{169} = 13$
故选B。
【答案】B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是明确直角三角形中斜边和直角边的对应关系，准确代入公式计算即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先明确三个正方形的边长分别对应Rt△ABC的直角边AC、BC和斜边AB。首先结合网格中小正方形边长为1，直接得到AC、BC的长度，即可求出正方形P、Q的面积；再利用直角三角形的三边关系求出AB的平方，也就是正方形R的面积；最后对比三个面积的数值关系，就能得到对应的结论。
【解析】
(1) 由图可知正方形P的边长与AC长度相等，小正方形边长为1，因此AC=1，正方形面积等于边长的平方，故$S_P=AC^2=1×1=1$；
(2) 正方形Q的边长与BC长度相等，BC=1，因此$S_Q=BC^2=1×1=1$；
(3) 正方形R的边长与AB长度相等，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2=1+1=2$，故$S_R=AB^2=2$；
(4) 由前3问的计算结果可知：$S_P+S_Q=1+1=2=S_R$，对应直角三角形三边的关系为$AC^2+BC^2=AB^2$。
【答案】
(1)1；(2)1；(3)2；(4)=；=
【知识点】
正方形面积计算、勾股定理
【点评】
本题通过网格图形直观呈现勾股定理的推导过程，属于基础概念类题目，能够帮助学生理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路如下：首先明确直角三角形中勾股定理的内容为两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）；再根据每小问给出的已知条件选择合适的公式形式：已知两条直角边求斜边直接用原始公式，已知斜边和一条直角边求另一条直角边时将公式变形；最后因为三角形边长为正数，开平方时仅取正的算术平方根即可得到结果。
【解析】
(1)
∵直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，$a=12$，$b=5$，
∴$c^2=a^2+b^2=12^2+5^2=144+25=169$，
∵边长为正数，
∴$c=\sqrt{169}=13$。
(2)
∵直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，$a=3$，$c=5$，
∴$b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=25-9=16$，
∵边长为正数，
∴$b=\sqrt{16}=4$。
(3)
∵直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，$c=15$，$b=9$，
∴$a^2=c^2-b^2=15^2-9^2=225-81=144$，
∵边长为正数，
∴$a=\sqrt{144}=12$。
【答案】
(1)$c=13$；(2)$b=4$；(3)$a=12$
【知识点】
勾股定理；算术平方根；代数式求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心是熟练掌握勾股定理的原始公式和变形公式，计算时注意边长为非负数，开平方仅取正根即可，整体计算量小，是对基础公式掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9

【分析】
(1) 第一问中△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，已知两条直角边AB、AC的长度，要求斜边BC，直接运用勾股定理，代入数值计算即可。
(2) 第二问求BD的长，BD是Rt△ABD的直角边，已知AB长度，只需先求出AD的长即可用勾股定理计算BD。求AD可使用等面积法：△ABC的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高AD的一半计算，联立两个面积表达式求出AD，再在Rt△ABD中用勾股定理算出BD即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=15$，$AC=20$，
根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$。
(2) $\because AD⊥ BC$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
整理得$AD=\frac{AB· AC}{BC}$，代入数值计算：
$AD=\frac{15×20}{25}=12$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) $BC=25$；(2) $BD=9$
【知识点】
勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，既考查了直接用勾股定理求边长的方法，也考查了利用等面积法计算直角三角形斜边上的高的技巧，掌握基础公式和方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8