1.“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样.中国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”.这个图形是 （
B
）答案：1.B
解析：
【分析】
首先回忆赵爽弦图的典型特征：整体为大正方形，内部由四个全等的直角三角形围出一个小正方形。解题时先明确该特征，再逐一比对四个选项的图形结构，排除不符合特征的选项，即可得到正确答案。
【解析】
赵爽弦图的结构为：外框是大正方形，内部包含四个全等的直角三角形，四个直角三角形中间围成一个小正方形。
逐一分析选项：
A选项：四个阴影三角形不全等，不符合赵爽弦图特征；
B选项：外框为大正方形，内部四个全等的直角三角形围出一个小正方形，符合赵爽弦图的结构；
C选项：仅存在2个不全等的阴影三角形，不符合赵爽弦图特征；
D选项：外框为直角梯形，是勾股定理“总统证法”的对应图形，不符合赵爽弦图特征。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图；勾股定理的证明
【点评】
本题考查对勾股定理证明相关经典几何图形的识别，属于基础概念考查类题目，只要熟悉赵爽弦图的基本结构就能快速解题，也能让学生感受古代数学研究的智慧。
【难度系数】
0.9
首先回忆赵爽弦图的典型特征：整体为大正方形，内部由四个全等的直角三角形围出一个小正方形。解题时先明确该特征，再逐一比对四个选项的图形结构，排除不符合特征的选项，即可得到正确答案。
【解析】
赵爽弦图的结构为：外框是大正方形，内部包含四个全等的直角三角形，四个直角三角形中间围成一个小正方形。
逐一分析选项：
A选项：四个阴影三角形不全等，不符合赵爽弦图特征；
B选项：外框为大正方形，内部四个全等的直角三角形围出一个小正方形，符合赵爽弦图的结构；
C选项：仅存在2个不全等的阴影三角形，不符合赵爽弦图特征；
D选项：外框为直角梯形，是勾股定理“总统证法”的对应图形，不符合赵爽弦图特征。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图；勾股定理的证明
【点评】
本题考查对勾股定理证明相关经典几何图形的识别，属于基础概念考查类题目，只要熟悉赵爽弦图的基本结构就能快速解题，也能让学生感受古代数学研究的智慧。
【难度系数】
0.9
2.如图,用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形,则
(1)大正方形的面积为________;
(2)大正方形的面积还可以表示为________;
(3)于是得到等式________,化简为________.
(1)大正方形的面积为________;
(2)大正方形的面积还可以表示为________;
(3)于是得到等式________,化简为________.
答案：2.(1)$(a+b)^2$ (2)$\frac{1}{2}ab×4 + c^2$
(3)$(a+b)^2 = \frac{1}{2}ab×4 + c^2$ $c^2=a^2+b^2$
(3)$(a+b)^2 = \frac{1}{2}ab×4 + c^2$ $c^2=a^2+b^2$
解析：
【分析】
首先解决第(1)问：先观察大正方形的边长，由图可知大正方形的每条边都由长为a和b的两条线段组成，所以边长为$a+b$，根据正方形面积=边长²，即可求出大正方形面积。
接着第(2)问：采用割补法，大正方形的面积可以拆分为4个全等直角三角形的面积和加上中间空白小正方形的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
最后第(3)问：同一个大正方形的面积是固定的，因此前两问得到的两个面积表达式相等，再对等式展开化简就能得到对应的关系式。
【解析】
(1) 观察图形可得大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式：
$S_{\mathrm{大正方形}} = \mathrm{边长}^2 = (a+b)^2$
(2) 图形中4个直角三角形全等，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，中间空白小正方形的边长为$c$，面积为$c^2$，因此大正方形面积也可表示为：
$S_{\mathrm{大正方形}} = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
(3) 由于两个表达式都表示同一个大正方形的面积，因此二者相等，可得等式：
$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
对等式化简：左边展开得$a^2 + 2ab + b^2$，右边计算得$2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$c^2 = a^2 + b^2$
【答案】
(1)$(a+b)^2$ (2)$\frac{1}{2}ab×4 + c^2$
(3)$(a+b)^2 = \frac{1}{2}ab×4 + c^2$；$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
正方形面积计算；三角形面积计算；勾股定理的证明
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题，核心用到了等面积法，通过两种不同的方式表示同一图形的面积建立等式，进而推导得到勾股定理，这种方法是几何证明中常用的思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：先观察大正方形的边长，由图可知大正方形的每条边都由长为a和b的两条线段组成，所以边长为$a+b$，根据正方形面积=边长²，即可求出大正方形面积。
接着第(2)问：采用割补法，大正方形的面积可以拆分为4个全等直角三角形的面积和加上中间空白小正方形的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
最后第(3)问：同一个大正方形的面积是固定的，因此前两问得到的两个面积表达式相等，再对等式展开化简就能得到对应的关系式。
【解析】
(1) 观察图形可得大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式：
$S_{\mathrm{大正方形}} = \mathrm{边长}^2 = (a+b)^2$
(2) 图形中4个直角三角形全等，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，中间空白小正方形的边长为$c$，面积为$c^2$，因此大正方形面积也可表示为：
$S_{\mathrm{大正方形}} = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
(3) 由于两个表达式都表示同一个大正方形的面积，因此二者相等，可得等式：
$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$
对等式化简：左边展开得$a^2 + 2ab + b^2$，右边计算得$2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$c^2 = a^2 + b^2$
【答案】
(1)$(a+b)^2$ (2)$\frac{1}{2}ab×4 + c^2$
(3)$(a+b)^2 = \frac{1}{2}ab×4 + c^2$；$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
正方形面积计算；三角形面积计算；勾股定理的证明
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题，核心用到了等面积法，通过两种不同的方式表示同一图形的面积建立等式，进而推导得到勾股定理，这种方法是几何证明中常用的思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3.(1)如图②可以看作是由边长为$a,b,c$的两个直角三角形(如图①)拼成,其中$A,D,C$三点在同一条直线上,请根据面积关系,写出一个含有$a,b,c$的等式;(要有过程)
(2)请用四个同样的直角三角形拼出另一个图形验证(1)得到的等式,并写出验证过程;
(3)如果$a+b=8,ab=14$,求$c$的值.
(2)请用四个同样的直角三角形拼出另一个图形验证(1)得到的等式,并写出验证过程;
(3)如果$a+b=8,ab=14$,求$c$的值.
答案：
3.解:(1)梯形 ABED 的面积可以表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$,
也可以表示为$\frac{1}{2}c^2 + 2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2 + ab$,
所以$\frac{1}{2}c^2 + ab=\frac{1}{2}(a+b)^2$,整理,得$c^2=a^2+b^2$.
(2)如答图,大正方形的面积可以表示为$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab=a^2 + b^2$,
也可以表示为$c^2$,所以$c^2=a^2+b^2$.
(3)$\because a+b=8,ab=14$,
$\therefore a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=8^2 - 2×14=36$,
$\therefore c^2=36$,解得$c=6$.
3.解:(1)梯形 ABED 的面积可以表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$,
也可以表示为$\frac{1}{2}c^2 + 2×\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2 + ab$,
所以$\frac{1}{2}c^2 + ab=\frac{1}{2}(a+b)^2$,整理,得$c^2=a^2+b^2$.
(2)如答图,大正方形的面积可以表示为$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab=a^2 + b^2$,
也可以表示为$c^2$,所以$c^2=a^2+b^2$.
(3)$\because a+b=8,ab=14$,
$\therefore a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=8^2 - 2×14=36$,
$\therefore c^2=36$,解得$c=6$.
解析：
【分析】
(1) 我们可以通过两种不同的方式计算图②中梯形ABED的面积，利用面积相等建立等式，化简后即可得到含a、b、c的关系式。首先直接用梯形面积公式计算，再把梯形拆分为3个三角形，分别计算面积求和，让两个结果相等即可推导。
(2) 可用4个全等的直角三角形拼接成弦图：四周是直角三角形，中间形成小正方形，整体是边长为c的大正方形。同样用两种方法计算大正方形的面积，即可验证(1)得到的等式。
(3) 利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知的$a+b$和$ab$的值先求出$a^2+b^2$，再结合(1)的结论即可求出c的值，注意边长为正数，取正根即可。
【解析】
(1) 计算梯形ABED的面积：
方法一：梯形的上底为b，下底为a，高为$AD=a+b$，根据梯形面积公式得：
$S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
方法二：梯形由2个直角边为a、b的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形组成，因此：
$S_{梯形ABED}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
两种方式计算的面积相等，因此$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2展开化简后得：$c^2=a^2+b^2$。
(2) 拼接图形如答图，将4个全等的直角三角形围成边长为c的大正方形，中间空白为小正方形：
方法一：大正方形边长为c，面积$S=c^2$。
方法二：大正方形面积等于4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，小正方形边长为$b-a$，因此：
$S=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$
两个面积相等，因此$c^2=a^2+b^2$，验证成立。
(3) 已知$a+b=8$，$ab=14$，根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入数值计算：$a^2+b^2=8^2-2×14=64-28=36$。
结合(1)的结论$c^2=a^2+b^2$，得$c^2=36$，又因为c为正数，因此$c=6$。
【答案】
(1) $c^2=a^2+b^2$，推导过程见上述解析；
(2) 验证过程见上述解析，；
(3) $c=6$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 完全平方公式
3. 面积法计算
【点评】
本题是勾股定理相关的经典基础题，以图形拼接为载体考查数形结合思想，同时结合完全平方公式的变形考查代数计算能力，掌握面积法的应用和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 我们可以通过两种不同的方式计算图②中梯形ABED的面积，利用面积相等建立等式，化简后即可得到含a、b、c的关系式。首先直接用梯形面积公式计算，再把梯形拆分为3个三角形，分别计算面积求和，让两个结果相等即可推导。
(2) 可用4个全等的直角三角形拼接成弦图：四周是直角三角形，中间形成小正方形，整体是边长为c的大正方形。同样用两种方法计算大正方形的面积，即可验证(1)得到的等式。
(3) 利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知的$a+b$和$ab$的值先求出$a^2+b^2$，再结合(1)的结论即可求出c的值，注意边长为正数，取正根即可。
【解析】
(1) 计算梯形ABED的面积：
方法一：梯形的上底为b，下底为a，高为$AD=a+b$，根据梯形面积公式得：
$S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
方法二：梯形由2个直角边为a、b的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形组成，因此：
$S_{梯形ABED}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
两种方式计算的面积相等，因此$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2展开化简后得：$c^2=a^2+b^2$。
(2) 拼接图形如答图，将4个全等的直角三角形围成边长为c的大正方形，中间空白为小正方形：
方法一：大正方形边长为c，面积$S=c^2$。
方法二：大正方形面积等于4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，小正方形边长为$b-a$，因此：
$S=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$
两个面积相等，因此$c^2=a^2+b^2$，验证成立。
(3) 已知$a+b=8$，$ab=14$，根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入数值计算：$a^2+b^2=8^2-2×14=64-28=36$。
结合(1)的结论$c^2=a^2+b^2$，得$c^2=36$，又因为c为正数，因此$c=6$。
【答案】
(1) $c^2=a^2+b^2$，推导过程见上述解析；
(2) 验证过程见上述解析，
；(3) $c=6$
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 完全平方公式
3. 面积法计算
【点评】
本题是勾股定理相关的经典基础题，以图形拼接为载体考查数形结合思想，同时结合完全平方公式的变形考查代数计算能力，掌握面积法的应用和完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8