【分析】
本题考查勾股定理逆定理的概念识记，解题思路如下：首先回忆勾股定理与逆定理的关联，勾股定理是直角三角形的性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理是直角三角形的判定方法，即把勾股定理的条件和结论互换：若三角形三边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形，其中最长边为斜边。题目给出三边长为a、b、c，默认c为最长边，因此对应填入相关内容即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边$c$为斜边长。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$；$c$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对勾股定理逆定理内容的记忆与理解，熟练掌握基础定理内容即可快速得分，是该模块的入门级考查题型。
【难度系数】
0.9

【分析】
这道题考查勾股数的基本概念，解题思路如下：首先回忆勾股数的定义要求，满足$a^2+b^2=c^2$的三个数必须是正整数，小数、负数等都不符合勾股数的判定要求，由此可确定第一个空的答案。接着分析勾股数的数量：已知任意一组勾股数，将三个数同时乘同一个正整数，得到的新数依然满足勾股数的判定条件，正整数有无数个，因此可以构造出无数组勾股数，即可确定第二个空的答案。
【解析】
1. 根据勾股数的定义：如果三个正整数$a,b,c$满足关系$a^2 + b^2 = c^2$，则称$a,b,c$为勾股数，因此第一个空填“正整”。
2. 任取一组勾股数$a,b,c$，将三个数同时乘以正整数$n$，可得$(na)^2+(nb)^2=n^2a^2+n^2b^2=n^2(a^2+b^2)=n^2c^2=(nc)^2$，即$na,nb,nc$也为勾股数。由于正整数$n$的取值有无数个，因此可以构造出无数组勾股数，第二个空填“无数”。
【答案】
正整；无数
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对勾股数核心定义的记忆和简单推导，掌握勾股数的限制条件和衍生规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断四组线段能否构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理求解：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找到每组线段的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比两者是否相等即可得到结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证各选项：
A选项：最长边为2.5，计算得$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$2.5^2=6.25$，满足$1.5^2+2^2=2.5^2$，可以构成直角三角形；
B选项：最长边为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
C选项：最长边为3，首先$1+\sqrt{2}≈2.414＜3$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，自然不能构成直角三角形；
D选项：最长边为4，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用方法，解题时要先确定最长边，再通过平方运算验证三边的数量关系，同时注意先判断三边能否构成三角形，可减少不必要的计算。
【难度系数】
0.85

【分析】
要判断一组数是否为勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可先排除不是正整数的选项，再对剩余选项验证平方和的等式是否成立即可。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：7、24、25均为正整数，计算得$7^2=49$，$24^2=576$，两者之和为$49+576=625$，而$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，符合勾股数的定义。
选项B：4、6、9均为正整数，计算得$4^2+6^2=16+36=52$，而$9^2=81$，$52≠81$，不满足勾股定理逆定理的等式，不是勾股数。
选项C：0.3、0.4、0.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，直接排除。
选项D：$7\frac{1}{2}$、$8\frac{1}{2}$是分数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，直接排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和相等就误选C、D选项，解题时要先判断数的属性，再验证等式关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)求格点上线段长度的平方时，可将线段作为直角三角形的斜边，数出两条直角边对应的格点长度，再用勾股定理计算即可得到斜边的平方；(2)判断三角形形状时，结合(1)中得到的三边平方，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可利用勾股定理的逆定理得出结论。
【解析】
(1) 计算各边平方：
① 对于AB，构造直角三角形后两直角边长分别为3和6，由勾股定理得：$AB^2=3^2+6^2=9+36=45$；
② 对于BC，构造直角三角形后两直角边长分别为4和2，由勾股定理得：$BC^2=4^2+2^2=16+4=20$；
③ 对于AC，构造直角三角形后两直角边长分别为7和4，由勾股定理得：$AC^2=7^2+4^2=49+16=65$。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because AB^2=45,BC^2=20,AC^2=65$，
$\therefore AB^2+BC^2=45+20=65$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{65}$
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是格点三角形的常见题型，解题核心是熟练运用勾股定理求格点线段的平方，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，解题时注意准确数出直角边的格数，避免计数错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路分为三步：①解决第(1)问填表：先观察表1中a、b、c的倍数关系，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$计算空缺值；表2可观察到a是连续正奇数，且c比b大1，再用勾股定理计算b、c的空缺值。②解决第(2)问找规律：表1将每组数提取公因式，验证3n、4n、5n的平方和关系；表2结合a为奇数的特征，推导b、c关于n的表达式，再用勾股定理逆定理验证规律成立。③解决第(3)问写勾股数：直接套用(2)中得出的两个规律，代入正整数n即可得到新的勾股数。
【解析】
(1) 填表过程：
★表1：观察已知数可得a=3n，b=4n，c=5n（n为正整数）：
a列空缺：对应b=16=4×4，因此a=3×4=12；
b列空缺：对应a=9=3×3，因此b=4×3=12；
c列空缺：对应a=6=3×2，因此c=5×2=10；
★表2：观察可知a是连续正奇数3、5、7、9、11，且每组数中c=b+1，结合$a^2+b^2=c^2=(b+1)^2$，可推导出$b=\frac{a^2-1}{2}$，$c=\frac{a^2+1}{2}$：
a列空缺：3和7之间的奇数为5；
对应a=7时，$b=\frac{7^2-1}{2}=24$；
对应a=9时，$c=\frac{9^2+1}{2}=41$；
对应a=11时，$b=\frac{11^2-1}{2}=60$；
(2) 规律验证：
①表1规律：对任意正整数n，$(3n)^2+(4n)^2=9n^2+16n^2=25n^2=(5n)^2$，因此3n、4n、5n（n为正整数）是勾股数；
②表2规律：设n为正整数，a=2n+1（连续正奇数），则$b=2n^2+2n$，$c=2n^2+2n+1$，验证得：
$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$，
$(2n^2+2n+1)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$，二者相等，因此$2n+1、2n^2+2n、2n^2+2n+1$（n为正整数）是勾股数；
(3) 按规律代入正整数n即可得到新勾股数，答案不唯一。
【答案】
(1)
表1
| $a$ | 3 | 6 | 9 | 12 | … | $3n$ |
| $b$ | 4 | 8 | 12 | 16 | … | $4n$ |
| $c$ | 5 | 10 | 15 | 20 | … | $5n$ |
表2
| $a$ | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | … |
| $b$ | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | … |
| $c$ | 5 | 13 | 25 | 41 | 61 | … |
(2)从表1可得出:3n,4n,5n(n为正整数)是勾股数;
从表2可得出:$2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1$(n为正整数)是勾股数.
(3)答案不唯一,如:15,20,25;13,84,85等.
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理的逆定理，规律探究
【点评】
本题以勾股数为载体，考查观察归纳能力和对勾股定理逆定理的应用，通过填表、找规律的过程，加深对勾股数特征的理解，帮助学生掌握两类常见勾股数的构造方法。
【难度系数】
0.8