用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是构造出
直角
三角形.答案：直角
解析：
【分析】
解题时先回忆勾股定理及其逆定理的适用条件：勾股定理描述的是直角三角形的三边数量关系，勾股定理的逆定理是判定三角形是否为直角三角形的依据，二者的研究对象均为直角三角形。要使用这两个定理解决实际问题，首先要把实际问题中的几何关系转化为可应用定理的三角形结构，所以核心是构造符合定理适用要求的直角三角形。
【解析】
勾股定理仅适用于直角三角形，反映的是直角三角形三边的平方关系；勾股定理的逆定理作用是判定一个三角形是否为直角三角形，二者的应用都以直角三角形为载体，因此用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是构造出直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查勾股定理及其逆定理的适用前提，是运用勾股定理解决实际问题的必备基础，需要熟练掌握两个定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆勾股定理及其逆定理的适用条件：勾股定理描述的是直角三角形的三边数量关系，勾股定理的逆定理是判定三角形是否为直角三角形的依据，二者的研究对象均为直角三角形。要使用这两个定理解决实际问题，首先要把实际问题中的几何关系转化为可应用定理的三角形结构，所以核心是构造符合定理适用要求的直角三角形。
【解析】
勾股定理仅适用于直角三角形，反映的是直角三角形三边的平方关系；勾股定理的逆定理作用是判定一个三角形是否为直角三角形，二者的应用都以直角三角形为载体，因此用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是构造出直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查勾股定理及其逆定理的适用前提，是运用勾股定理解决实际问题的必备基础，需要熟练掌握两个定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
1.一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距$\underline{\qquad\qquad}$海里.
答案：25
解析：
【分析】
解题时首先明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，西北方向是北偏西45°，因此两艘船的航行路线夹角为90°，二者的航行路线与1小时后的连线可构成直角三角形。接下来先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船1小时航行的路程，即直角三角形的两条直角边长度，最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：由题意可知，东北方向与西北方向的夹角为90°，因此两艘船航行1小时后的位置与A港构成直角三角形。
第一艘船1小时航行的路程：$20 × 1 = 20$（海里）
第二艘船1小时航行的路程：$15 × 1 = 15$（海里）
根据勾股定理，两船相距的距离为：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$（海里）
【答案】
25
【知识点】
方向角的认识，勾股定理，路程计算公式
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是通过方向角判断出两船的航行路线互相垂直，从而构造出直角三角形，结合路程公式和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，西北方向是北偏西45°，因此两艘船的航行路线夹角为90°，二者的航行路线与1小时后的连线可构成直角三角形。接下来先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船1小时航行的路程，即直角三角形的两条直角边长度，最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：由题意可知，东北方向与西北方向的夹角为90°，因此两艘船航行1小时后的位置与A港构成直角三角形。
第一艘船1小时航行的路程：$20 × 1 = 20$（海里）
第二艘船1小时航行的路程：$15 × 1 = 15$（海里）
根据勾股定理，两船相距的距离为：
$\sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$（海里）
【答案】
25
【知识点】
方向角的认识，勾股定理，路程计算公式
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是通过方向角判断出两船的航行路线互相垂直，从而构造出直角三角形，结合路程公式和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图,为修建高速铁路需凿通隧道 AC,测得$∠ACB=90^{\circ },AB=15\ \mathrm{km},BC=12\ \mathrm{km}$,若每天可凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$,需要几天才能将隧道 AC 凿通?
答案：解:$\because ∠ ACB=90°,AB=15\ \mathrm{km},BC=12\ \mathrm{km}$,
$\therefore AC^2=AB^2-BC^2=15^2-12^2=81(\mathrm{km}^2)$,
$\therefore AC=9\ \mathrm{km},9÷0.3=30(\mathrm{天})$.
答:需要 30 天才能将隧道 AC 凿通.
$\therefore AC^2=AB^2-BC^2=15^2-12^2=81(\mathrm{km}^2)$,
$\therefore AC=9\ \mathrm{km},9÷0.3=30(\mathrm{天})$.
答:需要 30 天才能将隧道 AC 凿通.
解析：
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，首先由已知∠ACB=90°可判断△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，我们可以用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，即隧道的总长度，再用总长度除以每天的开凿进度，即可求出凿通隧道需要的天数。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°,AB=15\ \mathrm{km},BC=12\ \mathrm{km}$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得$AC^2=AB^2-BC^2=15^2-12^2=81(\mathrm{km}^2)$,
$\because$长度为正数，$\therefore AC=9\ \mathrm{km}$,
所需天数：$9÷0.3=30(\mathrm{天})$.
【答案】
需要30天才能将隧道AC凿通。
【知识点】
勾股定理，工程问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题关键是先利用勾股定理求出隧道的总长度，再结合工作总量、工作效率、工作时间的关系计算结果，解题时注意计算开平方时要取符合实际意义的正值。
【难度系数】
0.85
这是一道勾股定理的实际应用题，首先由已知∠ACB=90°可判断△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，我们可以用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，即隧道的总长度，再用总长度除以每天的开凿进度，即可求出凿通隧道需要的天数。
【解析】
解：$\because ∠ACB=90°,AB=15\ \mathrm{km},BC=12\ \mathrm{km}$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得$AC^2=AB^2-BC^2=15^2-12^2=81(\mathrm{km}^2)$,
$\because$长度为正数，$\therefore AC=9\ \mathrm{km}$,
所需天数：$9÷0.3=30(\mathrm{天})$.
【答案】
需要30天才能将隧道AC凿通。
【知识点】
勾股定理，工程问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题关键是先利用勾股定理求出隧道的总长度，再结合工作总量、工作效率、工作时间的关系计算结果，解题时注意计算开平方时要取符合实际意义的正值。
【难度系数】
0.85
3. 如图,在平静的湖面上,有一支红莲$BA$,高出水面的部分$AC$为1米,一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面(即$AB=DB$),已知红莲移动的水平距离$CD$为3米,则湖水深$BC$为多少米?
答案：解:设$BC$为$h$米,则$AB=BD=(h+1)$米,$DC=3$米,
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,由勾股定理,得$BD^2=DC^2+BC^2$,
即$(h+1)^2=3^2+h^2$,解得$h=4$.
故湖水深$BC$为4米.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,由勾股定理,得$BD^2=DC^2+BC^2$,
即$(h+1)^2=3^2+h^2$,解得$h=4$.
故湖水深$BC$为4米.
解析：
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要把实际场景转化为直角三角形的几何模型：已知∠BCD为直角，AC=1米、CD=3米，且红莲长度不变即AB=DB。我们可以先设水深BC为h米，那么红莲总长度AB=h+1米，对应得到BD的长度也为h+1米，此时Rt△BCD的三边都可表示，再利用勾股定理列方程即可求解h的值。
【解析】
设湖水深BC为h米，则红莲的总长度$AB=BD=(h+1)$米，已知$CD=3$米，$∠ BCD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$BD^2=BC^2+CD^2$
将各边长度代入得：$(h+1)^2=h^2+3^2$
展开并化简方程：
$h^2+2h+1=h^2+9$
$2h=8$
解得$h=4$
【答案】
4米
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；几何建模
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，解题关键是找到场景中的直角三角形，将实际长度对应到三角形边长，通过设未知数列方程求解，考查学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要把实际场景转化为直角三角形的几何模型：已知∠BCD为直角，AC=1米、CD=3米，且红莲长度不变即AB=DB。我们可以先设水深BC为h米，那么红莲总长度AB=h+1米，对应得到BD的长度也为h+1米，此时Rt△BCD的三边都可表示，再利用勾股定理列方程即可求解h的值。
【解析】
设湖水深BC为h米，则红莲的总长度$AB=BD=(h+1)$米，已知$CD=3$米，$∠ BCD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$BD^2=BC^2+CD^2$
将各边长度代入得：$(h+1)^2=h^2+3^2$
展开并化简方程：
$h^2+2h+1=h^2+9$
$2h=8$
解得$h=4$
【答案】
4米
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；几何建模
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，解题关键是找到场景中的直角三角形，将实际长度对应到三角形边长，通过设未知数列方程求解，考查学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7