4.一个门框的尺寸如图所示.
(1)若有一块长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板,问能否从门框内通过? 为什么?
(2)若薄木板长 3 m,宽 1.5 m 呢? 为什么?
(3)若薄木板长 3 m,宽 2.2 m 呢? 为什么?
思考:薄木板过门框有哪些放置方式?
(1)若有一块长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板,问能否从门框内通过? 为什么?
(2)若薄木板长 3 m,宽 1.5 m 呢? 为什么?
(3)若薄木板长 3 m,宽 2.2 m 呢? 为什么?
思考:薄木板过门框有哪些放置方式?
答案：解:(1)能从门框内通过.理由如下:
$\because 0.8＜1$,$\therefore$长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板能从门框内通过.
(2)能从门框内通过.理由如下:
$\because 1.5＜2$,$\therefore$长 3 m,宽 1.5 m 的薄木板能从门框内通过.
(3)能从门框内通过.理由如下:
$\because AC^2=1^2+2^2=5＞2.2^2$,
$\therefore$长 3 m,宽 2.2 m 的薄木板能从门框内通过.
思考:薄木板过门框放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等.
$\because 0.8＜1$,$\therefore$长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板能从门框内通过.
(2)能从门框内通过.理由如下:
$\because 1.5＜2$,$\therefore$长 3 m,宽 1.5 m 的薄木板能从门框内通过.
(3)能从门框内通过.理由如下:
$\because AC^2=1^2+2^2=5＞2.2^2$,
$\therefore$长 3 m,宽 2.2 m 的薄木板能从门框内通过.
思考:薄木板过门框放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等.
解析：
【分析】
要判断薄木板能否通过门框，首先明确门框为长方形，有三种常见放置方式：①水平放置：允许通过的木板最大宽度为门框短边长度1m；②竖直放置：允许通过的木板最大宽度为门框长边长度2m；③沿对角线放置：门框允许通过的最大宽度为对角线AC的长度，可通过勾股定理计算得出。解题时将木板宽度分别和对应放置方式的最大允许宽度比较，即可判断能否通过。
【解析】
首先计算门框对角线AC的长度：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1m，BC=2m，根据勾股定理可得$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}\approx2.236\mathrm{m}$。
(1) 薄木板宽0.8m，$\because 0.8＜1$，水平放置即可通过，因此长3m、宽0.8m的薄木板能从门框内通过。
(2) 薄木板宽1.5m，$\because 1.5＜2$，竖直放置即可通过，因此长3m、宽1.5m的薄木板能从门框内通过。
(3) 薄木板宽2.2m，$\because 2.2^2=4.84＜5$，即2.2＜AC，沿对角线放置即可通过，因此长3m、宽2.2m的薄木板能从门框内通过。
思考：薄木板过门框的放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等。
【答案】
(1)能从门框内通过.理由如下:
$\because 0.8＜1$,$\therefore$长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板能从门框内通过.
(2)能从门框内通过.理由如下:
$\because 1.5＜2$,$\therefore$长 3 m,宽 1.5 m 的薄木板能从门框内通过.
(3)能从门框内通过.理由如下:
$\because AC^2=1^2+2^2=5＞2.2^2$,
$\therefore$长 3 m,宽 2.2 m 的薄木板能从门框内通过.
思考:薄木板过门框放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等.
【知识点】
1.勾股定理的应用 2.实数大小比较 3.长方形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，需要用到分类讨论思想分析不同放置方式下的通行最大宽度，能锻炼用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.8
要判断薄木板能否通过门框，首先明确门框为长方形，有三种常见放置方式：①水平放置：允许通过的木板最大宽度为门框短边长度1m；②竖直放置：允许通过的木板最大宽度为门框长边长度2m；③沿对角线放置：门框允许通过的最大宽度为对角线AC的长度，可通过勾股定理计算得出。解题时将木板宽度分别和对应放置方式的最大允许宽度比较，即可判断能否通过。
【解析】
首先计算门框对角线AC的长度：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1m，BC=2m，根据勾股定理可得$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，即$AC=\sqrt{5}\approx2.236\mathrm{m}$。
(1) 薄木板宽0.8m，$\because 0.8＜1$，水平放置即可通过，因此长3m、宽0.8m的薄木板能从门框内通过。
(2) 薄木板宽1.5m，$\because 1.5＜2$，竖直放置即可通过，因此长3m、宽1.5m的薄木板能从门框内通过。
(3) 薄木板宽2.2m，$\because 2.2^2=4.84＜5$，即2.2＜AC，沿对角线放置即可通过，因此长3m、宽2.2m的薄木板能从门框内通过。
思考：薄木板过门框的放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等。
【答案】
(1)能从门框内通过.理由如下:
$\because 0.8＜1$,$\therefore$长 3 m,宽 0.8 m 的薄木板能从门框内通过.
(2)能从门框内通过.理由如下:
$\because 1.5＜2$,$\therefore$长 3 m,宽 1.5 m 的薄木板能从门框内通过.
(3)能从门框内通过.理由如下:
$\because AC^2=1^2+2^2=5＞2.2^2$,
$\therefore$长 3 m,宽 2.2 m 的薄木板能从门框内通过.
思考:薄木板过门框放置方式有水平放置、竖直放置、沿门框对角线放置等.
【知识点】
1.勾股定理的应用 2.实数大小比较 3.长方形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，需要用到分类讨论思想分析不同放置方式下的通行最大宽度，能锻炼用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图,一架竹梯长 13 m,斜靠在一面墙上(AB 位置),梯子底端离墙 5 m.
(1)求梯子顶端距地面的高度；
(2)如果梯子的顶端下滑 7 m(到 CD 位置),那么梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m吗？为什么？
(1)求梯子顶端距地面的高度；
(2)如果梯子的顶端下滑 7 m(到 CD 位置),那么梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m吗？为什么？
答案：解:(1)$\because AO⊥ BO,AB=13\ \mathrm{m},OB=5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AO^2=AB^2-OB^2=13^2-5^2=144(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore AO=12\ \mathrm{m}$,即梯子顶端距地面的高度为 12 m.
(2)梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m.理由如下:
$\because AC=7\ \mathrm{m}$,$\therefore OC=AO-AC=5\ \mathrm{m}$.
又$CD=AB=13\ \mathrm{m}$,$\therefore OD=12\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=OD-OB=12-5=7(\mathrm{m})$,
$\therefore$梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m.
$\therefore AO^2=AB^2-OB^2=13^2-5^2=144(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore AO=12\ \mathrm{m}$,即梯子顶端距地面的高度为 12 m.
(2)梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m.理由如下:
$\because AC=7\ \mathrm{m}$,$\therefore OC=AO-AC=5\ \mathrm{m}$.
又$CD=AB=13\ \mathrm{m}$,$\therefore OD=12\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=OD-OB=12-5=7(\mathrm{m})$,
$\therefore$梯子的底端在水平方向也滑动了 7 m.
解析：
【分析】
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路如下：
(1) 首先墙面与地面垂直，因此△AOB是直角三角形，已知梯子长度AB为斜边、底端离墙距离OB为一条直角边，要求顶端高度AO，可利用勾股定理变形得到$AO^2=AB^2-OB^2$，代入数值计算即可。
(2) 要判断底端水平滑动距离是否为7m，首先明确梯子长度不变，即$CD=AB=13\ \mathrm{m}$。先根据顶端下滑距离计算出当前顶端距地面的高度OC，再在Rt△COD中用勾股定理算出当前底端离墙的距离OD，最后用OD减去原有OB得到滑动距离BD，与7m比较即可得到结论。
【解析】
(1) 由题意得$AO⊥BO$，即△AOB为直角三角形，
已知$AB=13\ \mathrm{m}$，$OB=5\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AO^2=AB^2-OB^2=13^2-5^2=169-25=144(\mathrm{m}^2)$
$\therefore AO=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
即梯子顶端距地面的高度为12 m。
(2) 梯子的底端在水平方向也滑动了7 m，理由如下：
已知梯子顶端下滑7 m到C点，即$AC=7\ \mathrm{m}$，
$\therefore OC=AO-AC=12-7=5\ \mathrm{m}$
∵梯子长度不变，$\therefore CD=AB=13\ \mathrm{m}$
在Rt△COD中，根据勾股定理：
$OD^2=CD^2-OC^2=13^2-5^2=144(\mathrm{m}^2)$
$\therefore OD=12\ \mathrm{m}$
则底端滑动的距离$BD=OD-OB=12-5=7\ \mathrm{m}$
因此梯子的底端在水平方向也滑动了7 m。
【答案】
(1) 梯子顶端距地面的高度为12 m；
(2) 梯子的底端在水平方向也滑动了7 m，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合墙面与地面垂直的特点构造直角三角形，代入勾股定理计算对应边长即可，侧重考查基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路如下：
(1) 首先墙面与地面垂直，因此△AOB是直角三角形，已知梯子长度AB为斜边、底端离墙距离OB为一条直角边，要求顶端高度AO，可利用勾股定理变形得到$AO^2=AB^2-OB^2$，代入数值计算即可。
(2) 要判断底端水平滑动距离是否为7m，首先明确梯子长度不变，即$CD=AB=13\ \mathrm{m}$。先根据顶端下滑距离计算出当前顶端距地面的高度OC，再在Rt△COD中用勾股定理算出当前底端离墙的距离OD，最后用OD减去原有OB得到滑动距离BD，与7m比较即可得到结论。
【解析】
(1) 由题意得$AO⊥BO$，即△AOB为直角三角形，
已知$AB=13\ \mathrm{m}$，$OB=5\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得：
$AO^2=AB^2-OB^2=13^2-5^2=169-25=144(\mathrm{m}^2)$
$\therefore AO=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
即梯子顶端距地面的高度为12 m。
(2) 梯子的底端在水平方向也滑动了7 m，理由如下：
已知梯子顶端下滑7 m到C点，即$AC=7\ \mathrm{m}$，
$\therefore OC=AO-AC=12-7=5\ \mathrm{m}$
∵梯子长度不变，$\therefore CD=AB=13\ \mathrm{m}$
在Rt△COD中，根据勾股定理：
$OD^2=CD^2-OC^2=13^2-5^2=144(\mathrm{m}^2)$
$\therefore OD=12\ \mathrm{m}$
则底端滑动的距离$BD=OD-OB=12-5=7\ \mathrm{m}$
因此梯子的底端在水平方向也滑动了7 m。
【答案】
(1) 梯子顶端距地面的高度为12 m；
(2) 梯子的底端在水平方向也滑动了7 m，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合墙面与地面垂直的特点构造直角三角形，代入勾股定理计算对应边长即可，侧重考查基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8