用勾股定理去探究一些学科内的综合问题，常需找（或构造）出
直角
三角形。答案：直角
解析：
【分析】
解题时首先回忆勾股定理的适用前提：勾股定理是描述直角三角形三边数量关系的定理，仅在直角三角形中成立。因此要使用勾股定理解决相关问题，必须先明确对应的三角形是直角三角形，若不存在现成的直角三角形，就需要通过作辅助线等方式构造，由此就能推出空缺处应填的内容。
【解析】
勾股定理的内容为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，该定理仅适用于直角三角形。因此运用勾股定理探究综合问题时，常需先找到或者构造出直角三角形，故空缺处填“直角”。
【答案】
直角
【知识点】
1.勾股定理的适用条件
2.直角三角形的构造
【点评】
本题是对勾股定理基础概念的考查，属于基础识记类题型，掌握勾股定理的适用范围是解题的关键，是后续运用勾股定理解决各类实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆勾股定理的适用前提：勾股定理是描述直角三角形三边数量关系的定理，仅在直角三角形中成立。因此要使用勾股定理解决相关问题，必须先明确对应的三角形是直角三角形，若不存在现成的直角三角形，就需要通过作辅助线等方式构造，由此就能推出空缺处应填的内容。
【解析】
勾股定理的内容为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，该定理仅适用于直角三角形。因此运用勾股定理探究综合问题时，常需先找到或者构造出直角三角形，故空缺处填“直角”。
【答案】
直角
【知识点】
1.勾股定理的适用条件
2.直角三角形的构造
【点评】
本题是对勾股定理基础概念的考查，属于基础识记类题型，掌握勾股定理的适用范围是解题的关键，是后续运用勾股定理解决各类实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图,请在数轴上画出表示$\sqrt{10}$的点$M$.
答案：
1. 解:如答图,点 M 即为所求.
1. 解:如答图,点 M 即为所求.
解析：
【分析】
要在数轴上画出表示$\sqrt{10}$的点，首先需要构造出长度为$\sqrt{10}$的线段。根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两条直角边长的平方和的算术平方根，由于$10=3^2+1^2$，因此可先构造直角边分别为3和1的直角三角形，其斜边长就是$\sqrt{10}$，再用圆规将该斜边长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
1. 在数轴正半轴上找到对应数字3的点$E$，可得$OE=3$；
2. 过点$E$作数轴的垂线$EF$，在$EF$上截取线段$EF=1$；
3. 连接$OF$，由勾股定理计算得：$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，即线段$OF$的长度为$\sqrt{10}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OF$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点$M$。
【答案】
如答图,点 M 即为所求.
【知识点】
勾股定理；数轴与实数的对应；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理构造长度为无理数的线段，结合尺规作图在数轴上表示无理数的方法，体现了数形结合的思想，解题的关键是将无理数的被开方数拆分为两个整数的平方和，以此确定直角三角形的直角边长。
【难度系数】
0.8
要在数轴上画出表示$\sqrt{10}$的点，首先需要构造出长度为$\sqrt{10}$的线段。根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两条直角边长的平方和的算术平方根，由于$10=3^2+1^2$，因此可先构造直角边分别为3和1的直角三角形，其斜边长就是$\sqrt{10}$，再用圆规将该斜边长度转移到数轴上即可得到对应点。
【解析】
1. 在数轴正半轴上找到对应数字3的点$E$，可得$OE=3$；
2. 过点$E$作数轴的垂线$EF$，在$EF$上截取线段$EF=1$；
3. 连接$OF$，由勾股定理计算得：$OF=\sqrt{OE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，即线段$OF$的长度为$\sqrt{10}$；
4. 以原点$O$为圆心，$OF$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点$M$。
【答案】
如答图,点 M 即为所求.
【知识点】
勾股定理；数轴与实数的对应；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理构造长度为无理数的线段，结合尺规作图在数轴上表示无理数的方法，体现了数形结合的思想，解题的关键是将无理数的被开方数拆分为两个整数的平方和，以此确定直角三角形的直角边长。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.在边$BC$上有一点$P$,连接$AP$,且$PA=PB$,若$AC=2$,$CB=5$,求$PA$的长.
答案：2. 解:设 $PA=PB=x$,则 $CP=5-x$,
根据勾股定理,得 $AC^2+CP^2=PA^2$,
$\therefore 2^2+(5-x)^2=x^2$,解得 $x=\frac{29}{10}$,$\therefore PA$ 的长为$\frac{29}{10}$.
根据勾股定理,得 $AC^2+CP^2=PA^2$,
$\therefore 2^2+(5-x)^2=x^2$,解得 $x=\frac{29}{10}$,$\therefore PA$ 的长为$\frac{29}{10}$.
解析：
【分析】
要求PA的长度，我们可以结合已知条件用方程思想求解：首先由PA=PB，可设PA=PB=x，那么线段CP可表示为BC-PB=5-x；又因为△ACP是直角三角形，∠C=90°，三边满足勾股定理，将三条边的长度代入勾股定理即可列出关于x的一元一次方程，解方程就能得到PA的长。
【解析】
解：设 $PA=PB=x$，则 $CP=BC-PB=5-x$，
∵ $∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ACP$中，根据勾股定理得 $AC^2+CP^2=PA^2$，
$\therefore 2^2+(5-x)^2=x^2$，
展开计算得$4+25-10x+x^2=x^2$，
化简后解得 $x=\frac{29}{10}$。
【答案】
$\frac{29}{10}$
【知识点】
勾股定理；方程思想；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是把相关未知线段用同一个未知数表示，结合直角三角形的勾股定理建立等量关系求解，是几何求线段长度的常见基础考法。
【难度系数】
0.75
要求PA的长度，我们可以结合已知条件用方程思想求解：首先由PA=PB，可设PA=PB=x，那么线段CP可表示为BC-PB=5-x；又因为△ACP是直角三角形，∠C=90°，三边满足勾股定理，将三条边的长度代入勾股定理即可列出关于x的一元一次方程，解方程就能得到PA的长。
【解析】
解：设 $PA=PB=x$，则 $CP=BC-PB=5-x$，
∵ $∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ACP$中，根据勾股定理得 $AC^2+CP^2=PA^2$，
$\therefore 2^2+(5-x)^2=x^2$，
展开计算得$4+25-10x+x^2=x^2$，
化简后解得 $x=\frac{29}{10}$。
【答案】
$\frac{29}{10}$
【知识点】
勾股定理；方程思想；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是把相关未知线段用同一个未知数表示，结合直角三角形的勾股定理建立等量关系求解，是几何求线段长度的常见基础考法。
【难度系数】
0.75
3. 如图,每个小正方形的边长为 1,已知点 C,请你按要求分别设计$△ ABC$,使$∠ C=90°$,$AC=BC$.
(1)$AB$的长为无理数,$AC$,$BC$的长均为有理数;
(2)$AB$的长为有理数,$AC$,$BC$的长均为无理数;
(3)三边的长均为无理数.
(1)$AB$的长为无理数,$AC$,$BC$的长均为有理数;
(2)$AB$的长为有理数,$AC$,$BC$的长均为无理数;
(3)三边的长均为无理数.
答案：
3. 解:(1)如答图①,$AC=BC=2$,则 $AB=\sqrt{8}$.
(2)如答图②,$AC=BC=\sqrt{2}$,则 $AB=2$.
(3)如答图③,$AC=BC=\sqrt{10}$,则 $AB=\sqrt{20}$.
3. 解:(1)如答图①,$AC=BC=2$,则 $AB=\sqrt{8}$.
(2)如答图②,$AC=BC=\sqrt{2}$,则 $AB=2$.
(3)如答图③,$AC=BC=\sqrt{10}$,则 $AB=\sqrt{20}$.
解析：
【分析】
要设计满足条件的等腰直角$△ ABC$（$∠ C=90°$，$AC=BC$），需结合勾股定理和有理数、无理数的定义分析：
1. 由等腰直角三角形性质和勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2$，可据此结合数的属性要求确定$AC$、$BC$、$AB$的长度；
2. 借助网格的格点特性，构造互相垂直且长度相等的线段$CA$、$CB$，即可确定点$A$、$B$的位置完成作图。
针对三个小问分别思考：
(1) 要求$AC$、$BC$为有理数，可直接取$AC$、$BC$为整数（属于有理数），计算得$AB$为无理数即可；
(2) 要求$AB$为有理数，$AC$、$BC$为无理数，只要保证$2AC^2$是完全平方数即可；
(3) 要求三边均为无理数，只要保证$AC^2$、$2AC^2$都不是完全平方数即可。
【解析】
利用网格的直角特征和勾股定理构造图形：
(1) 过点$C$作水平向左、竖直向上的线段，长度均为2，端点分别为$B$、$A$，此时$AC⊥ BC$，$AC=BC=2$（均为有理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（为无理数），符合要求；
(2) 过点$C$作两条互相垂直的小正方形对角线，长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，端点分别为$A$、$B$，此时$AC=BC=\sqrt{2}$（均为无理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$（为有理数），符合要求；
(3) 过点$C$作两条互相垂直的斜线，横向、纵向的格数差分别为1和3，长度均为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，端点分别为$A$、$B$，此时$AC=BC=\sqrt{10}$（均为无理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（为无理数），符合要求。
【答案】
3. 解:(1)如答图①,$AC=BC=2$,则 $AB=\sqrt{8}$.
(2)如答图②,$AC=BC=\sqrt{2}$,则 $AB=2$.
(3)如答图③,$AC=BC=\sqrt{10}$,则 $AB=\sqrt{20}$.
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；有理数与无理数的判别
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理的实际应用，需要学生灵活结合等腰直角三角形的边的关系，通过构造不同长度的直角边满足题目的数的属性要求，既锻炼了几何作图能力，也巩固了有理数、无理数的概念辨析。
【难度系数】
0.7
要设计满足条件的等腰直角$△ ABC$（$∠ C=90°$，$AC=BC$），需结合勾股定理和有理数、无理数的定义分析：
1. 由等腰直角三角形性质和勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2=2AC^2$，可据此结合数的属性要求确定$AC$、$BC$、$AB$的长度；
2. 借助网格的格点特性，构造互相垂直且长度相等的线段$CA$、$CB$，即可确定点$A$、$B$的位置完成作图。
针对三个小问分别思考：
(1) 要求$AC$、$BC$为有理数，可直接取$AC$、$BC$为整数（属于有理数），计算得$AB$为无理数即可；
(2) 要求$AB$为有理数，$AC$、$BC$为无理数，只要保证$2AC^2$是完全平方数即可；
(3) 要求三边均为无理数，只要保证$AC^2$、$2AC^2$都不是完全平方数即可。
【解析】
利用网格的直角特征和勾股定理构造图形：
(1) 过点$C$作水平向左、竖直向上的线段，长度均为2，端点分别为$B$、$A$，此时$AC⊥ BC$，$AC=BC=2$（均为有理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（为无理数），符合要求；
(2) 过点$C$作两条互相垂直的小正方形对角线，长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，端点分别为$A$、$B$，此时$AC=BC=\sqrt{2}$（均为无理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$（为有理数），符合要求；
(3) 过点$C$作两条互相垂直的斜线，横向、纵向的格数差分别为1和3，长度均为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，端点分别为$A$、$B$，此时$AC=BC=\sqrt{10}$（均为无理数），由勾股定理得$AB=\sqrt{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（为无理数），符合要求。
【答案】
3. 解:(1)如答图①,$AC=BC=2$,则 $AB=\sqrt{8}$.
(2)如答图②,$AC=BC=\sqrt{2}$,则 $AB=2$.
(3)如答图③,$AC=BC=\sqrt{10}$,则 $AB=\sqrt{20}$.
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；有理数与无理数的判别
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理的实际应用，需要学生灵活结合等腰直角三角形的边的关系，通过构造不同长度的直角边满足题目的数的属性要求，既锻炼了几何作图能力，也巩固了有理数、无理数的概念辨析。
【难度系数】
0.7