1. 两边及其
夹角
分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS
”)。答案：1. 夹角 SAS
解析：
【分析】
本题考查全等三角形边角边判定定理的基础概念，解题思路如下：首先回忆边角边判定的核心要点：两个三角形如果有两条边分别相等，必须是这两条边的夹角也相等，才能判定全等，如果是其中一条边的对角相等，是不能判定全等的，因此第一个空填“夹角”；其次“边角边”的英文缩写是取边（Side）、角（Angle）、边（Side）的首字母，即“SAS”，因此第二个空填SAS。
【解析】
根据全等三角形“边角边”判定定理的内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，该判定方法的简称为“边角边”，英文简写为“SAS”，因此两个空依次填入夹角、SAS。
【答案】
夹角 SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定；几何概念识记
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对全等三角形边角边判定定理的记忆和理解，解题时需注意“边角边”中相等的角必须是两条相等边的夹角，避免和不能判定全等的“边边角”混淆，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查全等三角形边角边判定定理的基础概念，解题思路如下：首先回忆边角边判定的核心要点：两个三角形如果有两条边分别相等，必须是这两条边的夹角也相等，才能判定全等，如果是其中一条边的对角相等，是不能判定全等的，因此第一个空填“夹角”；其次“边角边”的英文缩写是取边（Side）、角（Angle）、边（Side）的首字母，即“SAS”，因此第二个空填SAS。
【解析】
根据全等三角形“边角边”判定定理的内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，该判定方法的简称为“边角边”，英文简写为“SAS”，因此两个空依次填入夹角、SAS。
【答案】
夹角 SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定；几何概念识记
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对全等三角形边角边判定定理的记忆和理解，解题时需注意“边角边”中相等的角必须是两条相等边的夹角，避免和不能判定全等的“边边角”混淆，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.符号语言：
如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE,\\∠ B=∠ \_\_\_\_\_\_,\\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ DEF(\_\_\_\_\_\_).$
如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE,\\∠ B=∠ \_\_\_\_\_\_,\\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ DEF(\_\_\_\_\_\_).$
答案：2. E $BC=EF$ SAS
解析：
【分析】
本题考查全等三角形的SAS判定定理的应用，解题思路如下：首先明确SAS判定的核心条件：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等，即可判定全等。首先看已知条件：已有AB=DE，∠B是△ABC中AB与BC的夹角，因此需要找到△DEF中与∠B对应的、DE边的夹角，再找到该夹角的另一组对应边相等，即可凑齐SAS的判定条件。
【解析】
根据全等三角形“边角边（SAS）”判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
1. 已知AB=DE，∠B是AB和BC的夹角，在△DEF中，边DE的夹角为∠E，因此第一个空填E，保证一组夹角对应相等；
2. 接下来需要夹这组相等角的另一组边对应相等，即BC=EF，因此第二个空填BC=EF；
3. 此时满足“两边及其夹角对应相等”的条件，因此判定依据为SAS。
【答案】
E $BC=EF$ SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对SAS判定定理中“夹角”概念的理解，解题时要注意对应边、对应角的匹配，不要混淆“边角边”和“边边角”，熟练掌握判定定理的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查全等三角形的SAS判定定理的应用，解题思路如下：首先明确SAS判定的核心条件：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等，即可判定全等。首先看已知条件：已有AB=DE，∠B是△ABC中AB与BC的夹角，因此需要找到△DEF中与∠B对应的、DE边的夹角，再找到该夹角的另一组对应边相等，即可凑齐SAS的判定条件。
【解析】
根据全等三角形“边角边（SAS）”判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
1. 已知AB=DE，∠B是AB和BC的夹角，在△DEF中，边DE的夹角为∠E，因此第一个空填E，保证一组夹角对应相等；
2. 接下来需要夹这组相等角的另一组边对应相等，即BC=EF，因此第二个空填BC=EF；
3. 此时满足“两边及其夹角对应相等”的条件，因此判定依据为SAS。
【答案】
E $BC=EF$ SAS
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对SAS判定定理中“夹角”概念的理解，解题时要注意对应边、对应角的匹配，不要混淆“边角边”和“边边角”，熟练掌握判定定理的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图，AD平分$∠ BAC$，$AB=AC$. 求证：$△ ABD ≌ △ ACD$.
答案：1. 证明:$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
在$△ ABD$和$△ ACD$中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAD,\\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
在$△ ABD$和$△ ACD$中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAD,\\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
解析：
【分析】
要证明△ABD≌△ACD，首先梳理已知条件：首先由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD；其次题目给出AB=AC，是一组对应边相等；最后观察图形可得AD是两个三角形的公共边，也是一组对应边相等。上述三组条件刚好符合全等三角形的SAS判定要求，因此可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠BAD=∠CAD$。
在$△ABD$和$△ACD$中：
$\begin{cases} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAD\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ABD≌△ACD(\mathrm{SAS})$
【答案】
$△ABD≌△ACD$
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形SAS判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，主要考查SAS判定定理的运用，解题的关键是结合角平分线得到相等的夹角，再结合已知等边和公共边即可完成证明，属于全等判定部分需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.9
要证明△ABD≌△ACD，首先梳理已知条件：首先由AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD；其次题目给出AB=AC，是一组对应边相等；最后观察图形可得AD是两个三角形的公共边，也是一组对应边相等。上述三组条件刚好符合全等三角形的SAS判定要求，因此可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠BAD=∠CAD$。
在$△ABD$和$△ACD$中：
$\begin{cases} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAD\\ AD=AD \end{cases}$
$\therefore △ABD≌△ACD(\mathrm{SAS})$
【答案】
$△ABD≌△ACD$
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形SAS判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，主要考查SAS判定定理的运用，解题的关键是结合角平分线得到相等的夹角，再结合已知等边和公共边即可完成证明，属于全等判定部分需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.9
2. 如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE 和 CD 相交于点 O,AB=AC,AD=AE.求证:
BE=CD.
BE=CD.
答案：2. 证明:在$△ ABE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=CD.$
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=CD.$
解析：
【分析】
要证明两条线段相等，通常可先证明两条线段所在的三角形全等。首先观察待证线段BE在$△ ABE$中，CD在$△ ACD$中，结合已知条件已有$AB=AC$、$AE=AD$，且两个三角形有公共角$∠ BAE=∠ CAD$，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到$BE=CD$。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$BE=CD$。
【答案】
证明:在$△ ABE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=CD.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是准确找到待证线段所在的三角形，梳理出全等所需的边、角条件，再利用全等的性质得到对应结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可先证明两条线段所在的三角形全等。首先观察待证线段BE在$△ ABE$中，CD在$△ ACD$中，结合已知条件已有$AB=AC$、$AE=AD$，且两个三角形有公共角$∠ BAE=∠ CAD$，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到$BE=CD$。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$BE=CD$。
【答案】
证明:在$△ ABE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAD,\\ AE=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=CD.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是准确找到待证线段所在的三角形，梳理出全等所需的边、角条件，再利用全等的性质得到对应结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
3. 如图,点 E,F 在 BC 上,$AB=DC,AF=DE,∠A=∠D$.
(1)证明:$∠B=∠C$;
(2)若$BE=3,EF=6$,求 BC 的长.
(1)证明:$∠B=∠C$;
(2)若$BE=3,EF=6$,求 BC 的长.
答案：3. (1)证明:在$△ ABF$和$△ DCE$中,
$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DE, \end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
(2)解:由(1)知,$△ ABF≌△ DCE$,则$BF=CE=3+6=9.$
故$BC=2BF-EF=2×9-6=12$,即$BC=12.$
$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DE, \end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ B=∠ C.$
(2)解:由(1)知,$△ ABF≌△ DCE$,则$BF=CE=3+6=9.$
故$BC=2BF-EF=2×9-6=12$,即$BC=12.$
解析：
【分析】
(1)要证明$∠ B=∠ C$，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。观察图形可知$∠ B$、$∠ C$分别在$△ ABF$和$△ DCE$中，已知$AB=DC$，$∠ A=∠ D$，$AF=DE$，刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，因此先证明$△ ABF≌△ DCE$，再根据全等三角形对应角相等即可得到$∠ B=∠ C$。
(2)根据全等三角形的性质可得对应边$BF=CE$，先求出$BF=BE+EF=9$，即$CE$也为9；由于$BF$和$CE$有重叠部分$EF$，因此$BC$的长度为$BF$与$CE$的和减去重叠的$EF$长度，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
(2)解：由(1)得$△ ABF≌△ DCE$，因此对应边$BF=CE$。
计算得$BF=BE+EF=3+6=9$，故$CE=9$。
则$BC=BF+CE-EF=9+9-6=12$。
【答案】
(1)$∠ B=∠ C$，证明见解析；
(2)$\boxed{12}$
【知识点】
SAS证全等，全等三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是找准对应全等的三角形，熟练运用SAS判定定理和全等三角形的性质，再结合线段的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$∠ B=∠ C$，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。观察图形可知$∠ B$、$∠ C$分别在$△ ABF$和$△ DCE$中，已知$AB=DC$，$∠ A=∠ D$，$AF=DE$，刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，因此先证明$△ ABF≌△ DCE$，再根据全等三角形对应角相等即可得到$∠ B=∠ C$。
(2)根据全等三角形的性质可得对应边$BF=CE$，先求出$BF=BE+EF=9$，即$CE$也为9；由于$BF$和$CE$有重叠部分$EF$，因此$BC$的长度为$BF$与$CE$的和减去重叠的$EF$长度，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} AB=DC,\\ ∠ A=∠ D,\\ AF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
(2)解：由(1)得$△ ABF≌△ DCE$，因此对应边$BF=CE$。
计算得$BF=BE+EF=3+6=9$，故$CE=9$。
则$BC=BF+CE-EF=9+9-6=12$。
【答案】
(1)$∠ B=∠ C$，证明见解析；
(2)$\boxed{12}$
【知识点】
SAS证全等，全等三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是找准对应全等的三角形，熟练运用SAS判定定理和全等三角形的性质，再结合线段的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8