1. 求下列各数的立方根.
(1)$-216$;
(2)$-\dfrac{64}{27}$;
(3)$3\dfrac{3}{8}$;
(4)$-0.064$;
(5)$\sqrt{9}$;
(6)$-27$;
(7)$8a^3$;
(8)$-0.008$;
(9)$\dfrac{-125}{8}$;
(10)$-1 - 2\dfrac{3}{8}$.
(1)$-216$;
(2)$-\dfrac{64}{27}$;
(3)$3\dfrac{3}{8}$;
(4)$-0.064$;
(5)$\sqrt{9}$;
(6)$-27$;
(7)$8a^3$;
(8)$-0.008$;
(9)$\dfrac{-125}{8}$;
(10)$-1 - 2\dfrac{3}{8}$.
答案：(1)$-6$ (2)$-\dfrac{4}{3}$ (3)$\dfrac{3}{2}$ (4)$-0.4$ (5)$\sqrt[3]{3}$ (6)$-3$ (7)$2a$ (8)$-0.2$ (9)$-\dfrac{5}{2}$ (10)$-\dfrac{3}{2}$
解析：
【分析】
解题的核心依据是立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，其中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。解题步骤为：①先将待求数化简为最简形式：带分数转化为假分数、含有运算的先计算结果、含算术平方根的先化简算术平方根；②找到满足三次方等于该最简数的数，即为所求立方根。
【解析】
(1) 因为$(-6)^3=-216$，所以$-216$的立方根是$-6$；
(2) 因为$(-\dfrac{4}{3})^3=-\dfrac{64}{27}$，所以$-\dfrac{64}{27}$的立方根是$-\dfrac{4}{3}$；
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{8}$，因为$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{27}{8}$，所以$3\dfrac{3}{8}$的立方根是$\dfrac{3}{2}$；
(4) 因为$(-0.4)^3=-0.064$，所以$-0.064$的立方根是$-0.4$；
(5) 先化简算术平方根：$\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{9}$的立方根是$\sqrt[3]{3}$；
(6) 因为$(-3)^3=-27$，所以$-27$的立方根是$-3$；
(7) 因为$(2a)^3=8a^3$，所以$8a^3$的立方根是$2a$；
(8) 因为$(-0.2)^3=-0.008$，所以$-0.008$的立方根是$-0.2$；
(9) 因为$(-\dfrac{5}{2})^3=-\dfrac{125}{8}$，所以$\dfrac{-125}{8}$的立方根是$-\dfrac{5}{2}$；
(10) 先计算待求数的结果：$-1-2\dfrac{3}{8}=-3\dfrac{3}{8}=-\dfrac{27}{8}$，因为$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，所以$-1-2\dfrac{3}{8}$的立方根是$-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)$-6$ (2)$-\dfrac{4}{3}$ (3)$\dfrac{3}{2}$ (4)$-0.4$ (5)$\sqrt[3]{3}$ (6)$-3$ (7)$2a$ (8)$-0.2$ (9)$-\dfrac{5}{2}$ (10)$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
立方根的定义，实数运算，根式化简
【点评】
本题是立方根计算的基础题型，考查对立方根概念的掌握程度，解题时要注意先将待求数化简为最简形式，牢记负数的立方根为负数，带分数先转化为假分数再计算，可有效减少符号、运算类错误。
【难度系数】
0.75
解题的核心依据是立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，其中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。解题步骤为：①先将待求数化简为最简形式：带分数转化为假分数、含有运算的先计算结果、含算术平方根的先化简算术平方根；②找到满足三次方等于该最简数的数，即为所求立方根。
【解析】
(1) 因为$(-6)^3=-216$，所以$-216$的立方根是$-6$；
(2) 因为$(-\dfrac{4}{3})^3=-\dfrac{64}{27}$，所以$-\dfrac{64}{27}$的立方根是$-\dfrac{4}{3}$；
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{8}$，因为$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{27}{8}$，所以$3\dfrac{3}{8}$的立方根是$\dfrac{3}{2}$；
(4) 因为$(-0.4)^3=-0.064$，所以$-0.064$的立方根是$-0.4$；
(5) 先化简算术平方根：$\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{9}$的立方根是$\sqrt[3]{3}$；
(6) 因为$(-3)^3=-27$，所以$-27$的立方根是$-3$；
(7) 因为$(2a)^3=8a^3$，所以$8a^3$的立方根是$2a$；
(8) 因为$(-0.2)^3=-0.008$，所以$-0.008$的立方根是$-0.2$；
(9) 因为$(-\dfrac{5}{2})^3=-\dfrac{125}{8}$，所以$\dfrac{-125}{8}$的立方根是$-\dfrac{5}{2}$；
(10) 先计算待求数的结果：$-1-2\dfrac{3}{8}=-3\dfrac{3}{8}=-\dfrac{27}{8}$，因为$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，所以$-1-2\dfrac{3}{8}$的立方根是$-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)$-6$ (2)$-\dfrac{4}{3}$ (3)$\dfrac{3}{2}$ (4)$-0.4$ (5)$\sqrt[3]{3}$ (6)$-3$ (7)$2a$ (8)$-0.2$ (9)$-\dfrac{5}{2}$ (10)$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
立方根的定义，实数运算，根式化简
【点评】
本题是立方根计算的基础题型，考查对立方根概念的掌握程度，解题时要注意先将待求数化简为最简形式，牢记负数的立方根为负数，带分数先转化为假分数再计算，可有效减少符号、运算类错误。
【难度系数】
0.75
2. 求下列各式的值.
(1)$\sqrt[3]{0.125}=$
(2)$-\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}=$
(3)$\sqrt[3]{\dfrac{19}{27}-1}=$
(4)$\sqrt[3]{1+\dfrac{37}{27}}=$
(5)$\sqrt[3]{\dfrac{10}{27}-5}=$
(6)$\sqrt[3]{-0.001}=$
(7)$-\sqrt[3]{-1}=$
(8)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=$
(1)$\sqrt[3]{0.125}=$
0.5
;(2)$-\sqrt[3]{\dfrac{27}{64}}=$
$-\dfrac{3}{4}$
;(3)$\sqrt[3]{\dfrac{19}{27}-1}=$
$-\dfrac{2}{3}$
;(4)$\sqrt[3]{1+\dfrac{37}{27}}=$
$\dfrac{4}{3}$
;(5)$\sqrt[3]{\dfrac{10}{27}-5}=$
$-\dfrac{5}{3}$
;(6)$\sqrt[3]{-0.001}=$
-0.1
;(7)$-\sqrt[3]{-1}=$
1
;(8)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=$
$-\dfrac{1}{2}$
.答案：(1)$0.5$ (2)$-\dfrac{3}{4}$ (3)$-\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{4}{3}$ (5)$-\dfrac{5}{3}$ (6)$-0.1$ (7)$1$ (8)$-\dfrac{1}{2}$
解析：
【分析】
解题核心是利用立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。解题步骤为：①先化简每个式子的被开方数，将其整理为某个数的立方的形式；②再根据“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”以及$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$的性质计算结果即可。
【解析】
(1) 因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5$；
(2) 因为$(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，所以$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}$，故$-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$；
(3) 先计算被开方数：$\frac{19}{27}-1=\frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=-\frac{2}{3}$；
(4) 先计算被开方数：$1+\frac{37}{27}=\frac{27}{27}+\frac{37}{27}=\frac{64}{27}$，因为$(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$，所以$\sqrt[3]{1+\frac{37}{27}}=\frac{4}{3}$；
(5) 先计算被开方数：$\frac{10}{27}-5=\frac{10}{27}-\frac{135}{27}=-\frac{125}{27}$，因为$(-\frac{5}{3})^3=-\frac{125}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{10}{27}-5}=-\frac{5}{3}$；
(6) 因为$(-0.1)^3=-0.001$，所以$\sqrt[3]{-0.001}=-0.1$；
(7) 因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，故$-\sqrt[3]{-1}=-(-1)=1$；
(8) 因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$0.5$ (2)$-\dfrac{3}{4}$ (3)$-\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{4}{3}$ (5)$-\dfrac{5}{3}$ (6)$-0.1$ (7)$1$ (8)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，开立方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题时要注意先化简被开方数，再结合立方根的符号性质计算，避免因符号判断错误或计算被开方数时出错丢分。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。解题步骤为：①先化简每个式子的被开方数，将其整理为某个数的立方的形式；②再根据“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”以及$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$的性质计算结果即可。
【解析】
(1) 因为$0.5^3=0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5$；
(2) 因为$(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}$，所以$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{3}{4}$，故$-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$；
(3) 先计算被开方数：$\frac{19}{27}-1=\frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=-\frac{2}{3}$；
(4) 先计算被开方数：$1+\frac{37}{27}=\frac{27}{27}+\frac{37}{27}=\frac{64}{27}$，因为$(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$，所以$\sqrt[3]{1+\frac{37}{27}}=\frac{4}{3}$；
(5) 先计算被开方数：$\frac{10}{27}-5=\frac{10}{27}-\frac{135}{27}=-\frac{125}{27}$，因为$(-\frac{5}{3})^3=-\frac{125}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{10}{27}-5}=-\frac{5}{3}$；
(6) 因为$(-0.1)^3=-0.001$，所以$\sqrt[3]{-0.001}=-0.1$；
(7) 因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，故$-\sqrt[3]{-1}=-(-1)=1$；
(8) 因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$0.5$ (2)$-\dfrac{3}{4}$ (3)$-\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{4}{3}$ (5)$-\dfrac{5}{3}$ (6)$-0.1$ (7)$1$ (8)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，开立方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题时要注意先化简被开方数，再结合立方根的符号性质计算，避免因符号判断错误或计算被开方数时出错丢分。
【难度系数】
0.9
3. 求下列各式中 $ x $ 的值.
(1)$(2 - x)^3 = -64$;
(2)$3x^3 - 81 = 0$;
(3)$x^3 - 3 = 5$;
(4)$3(x + 1)^3 = 24$.
(1)$(2 - x)^3 = -64$;
(2)$3x^3 - 81 = 0$;
(3)$x^3 - 3 = 5$;
(4)$3(x + 1)^3 = 24$.
答案：(1)$x=6$ (2)$x=3$ (3)$x=2$ (4)$x=1$
解析：
【分析】
这四道题都是含未知数三次幂的方程，解题思路统一：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程整理为“(含x的一次整式)³=常数”的形式，再根据立方根的定义对等式两边同时开立方，把三次方程转化为一元一次方程，最后解一元一次方程即可求出x的值，开立方时注意负数的立方根为负数，正数的立方根为正数，不要与平方根的符号性质混淆。
【解析】
(1) 对$(2 - x)^3 = -64$两边同时开立方，得：
$2 - x = \sqrt[3]{-64} = -4$
移项得：$-x = -4 - 2$
合并同类项、系数化为1得：$x = 6$
(2) 对$3x^3 - 81 = 0$先移项，得：
$3x^3 = 81$
两边同时除以3，系数化为1得：
$x^3 = 27$
两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{27} = 3$
(3) 对$x^3 - 3 = 5$移项，得：
$x^3 = 5 + 3 = 8$
两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{8} = 2$
(4) 对$3(x + 1)^3 = 24$两边同时除以3，系数化为1得：
$(x + 1)^3 = 8$
两边同时开立方得：$x + 1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项得：$x = 2 - 1 = 1$
【答案】
(1)$x=6$；(2)$x=3$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；解一元一次方程
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，核心考查立方根的运算性质，解题的关键是先分离出含未知数的三次幂项，再通过开立方降次求解，计算时注意区分立方根与平方根的符号差异，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这四道题都是含未知数三次幂的方程，解题思路统一：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程整理为“(含x的一次整式)³=常数”的形式，再根据立方根的定义对等式两边同时开立方，把三次方程转化为一元一次方程，最后解一元一次方程即可求出x的值，开立方时注意负数的立方根为负数，正数的立方根为正数，不要与平方根的符号性质混淆。
【解析】
(1) 对$(2 - x)^3 = -64$两边同时开立方，得：
$2 - x = \sqrt[3]{-64} = -4$
移项得：$-x = -4 - 2$
合并同类项、系数化为1得：$x = 6$
(2) 对$3x^3 - 81 = 0$先移项，得：
$3x^3 = 81$
两边同时除以3，系数化为1得：
$x^3 = 27$
两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{27} = 3$
(3) 对$x^3 - 3 = 5$移项，得：
$x^3 = 5 + 3 = 8$
两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{8} = 2$
(4) 对$3(x + 1)^3 = 24$两边同时除以3，系数化为1得：
$(x + 1)^3 = 8$
两边同时开立方得：$x + 1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项得：$x = 2 - 1 = 1$
【答案】
(1)$x=6$；(2)$x=3$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
立方根的定义；开立方运算；解一元一次方程
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，核心考查立方根的运算性质，解题的关键是先分离出含未知数的三次幂项，再通过开立方降次求解，计算时注意区分立方根与平方根的符号差异，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8