1. 求图中直角三角形未知边的长度.
答案：解:①由勾股定理,得 $x^2=20^2+15^2$,解得 $x=\pm 25$,
$\because x$ 表示边长, $\therefore x=25$.
②由勾股定理,得 $y^2=34^2-16^2$,解得 $y=\pm 30$,
$\because y$ 表示边长, $\therefore y=30$.
$\because x$ 表示边长, $\therefore x=25$.
②由勾股定理,得 $y^2=34^2-16^2$,解得 $y=\pm 30$,
$\because y$ 表示边长, $\therefore y=30$.
解析：
【分析】两个图形均为直角三角形，可通过勾股定理求解未知边长。首先判断未知边的类型：①中x是斜边，两条直角边长分别为20和15，直接用勾股定理“斜边的平方等于两条直角边的平方和”列式；②中y是直角边，斜边长为34，另一条直角边长为16，变形勾股定理得“直角边的平方等于斜边的平方减去另一条直角边的平方”列式。最后结合边长为正数的实际意义，舍去负数解即可得到结果。
【解析】
①对于图①的直角三角形，x为斜边，由勾股定理得：
$x^2=20^2+15^2=400+225=625$，解得$x=\pm25$，
∵x表示三角形的边长，长度为正数，
∴舍去$x=-25$，即$x=25$。
②对于图②的直角三角形，y为直角边，由勾股定理得：
$y^2=34^2-16^2=1156-256=900$，解得$y=\pm30$，
∵y表示三角形的边长，长度为正数，
∴舍去$y=-30$，即$y=30$。
【答案】$x=25$，$y=30$
【知识点】勾股定理；边长非负性
【点评】本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，选择对应形式的勾股定理计算，同时注意边长的实际意义，不要遗漏舍去负数解的步骤。
【难度系数】
0.9
【解析】
①对于图①的直角三角形，x为斜边，由勾股定理得：
$x^2=20^2+15^2=400+225=625$，解得$x=\pm25$，
∵x表示三角形的边长，长度为正数，
∴舍去$x=-25$，即$x=25$。
②对于图②的直角三角形，y为直角边，由勾股定理得：
$y^2=34^2-16^2=1156-256=900$，解得$y=\pm30$，
∵y表示三角形的边长，长度为正数，
∴舍去$y=-30$，即$y=30$。
【答案】$x=25$，$y=30$
【知识点】勾股定理；边长非负性
【点评】本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，选择对应形式的勾股定理计算，同时注意边长的实际意义，不要遗漏舍去负数解的步骤。
【难度系数】
0.9
2. 根据所给条件，解决下列问题.
（1）求图①中 $ BC $ 的长；
（2）求图②中 $ BC $ 的长.
（1）求图①中 $ BC $ 的长；
（2）求图②中 $ BC $ 的长.
答案：解:(1)$BC^2=AB^2-AC^2=17^2-8^2=225, \therefore BC=15$.
(2)$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25, \therefore BD=5$,
$\therefore BC^2=CD^2-BD^2=13^2-5^2=144, \therefore BC=12$.
(2)$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=25, \therefore BD=5$,
$\therefore BC^2=CD^2-BD^2=13^2-5^2=144, \therefore BC=12$.
解析：
【分析】
（1）图①中△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边AC，求直角边BC。可直接利用勾股定理的变形公式：直角边的平方=斜边的平方-另一条直角边的平方，代入数值计算后，取正的平方根即为BC的长度。
（2）图②包含两个直角三角形，首先看Rt△ABD，∠A=90°，已知两条直角边AB、AD，可先通过勾股定理求出斜边BD的长度；BD同时是Rt△BCD的直角边，已知Rt△BCD的斜边CD，再次利用勾股定理的变形公式即可求出BC的长度。
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=17^2-8^2=289-64=225$
因为边长为正数，所以$BC=\sqrt{225}=15$。
（2）在Rt△ABD中，∠A=90°，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=9+16=25$
所以$BD=\sqrt{25}=5$。
在Rt△BCD中，∠CBD=90°，由勾股定理得：
$BC^2=CD^2-BD^2=13^2-5^2=169-25=144$
因为边长为正数，所以$BC=\sqrt{144}=12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15}$；（2）$\boldsymbol{12}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问直接考查单一直角三角形中勾股定理的变形使用，第二问需要通过公共边沟通两个直角三角形的边长关系，解题时注意边长均为正数，开平方后仅取正根即可。
【难度系数】
0.85
（1）图①中△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边AC，求直角边BC。可直接利用勾股定理的变形公式：直角边的平方=斜边的平方-另一条直角边的平方，代入数值计算后，取正的平方根即为BC的长度。
（2）图②包含两个直角三角形，首先看Rt△ABD，∠A=90°，已知两条直角边AB、AD，可先通过勾股定理求出斜边BD的长度；BD同时是Rt△BCD的直角边，已知Rt△BCD的斜边CD，再次利用勾股定理的变形公式即可求出BC的长度。
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2-AC^2=17^2-8^2=289-64=225$
因为边长为正数，所以$BC=\sqrt{225}=15$。
（2）在Rt△ABD中，∠A=90°，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=3^2+4^2=9+16=25$
所以$BD=\sqrt{25}=5$。
在Rt△BCD中，∠CBD=90°，由勾股定理得：
$BC^2=CD^2-BD^2=13^2-5^2=169-25=144$
因为边长为正数，所以$BC=\sqrt{144}=12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15}$；（2）$\boldsymbol{12}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，第一问直接考查单一直角三角形中勾股定理的变形使用，第二问需要通过公共边沟通两个直角三角形的边长关系，解题时注意边长均为正数，开平方后仅取正根即可。
【难度系数】
0.85
3.如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 $EB=6,EC=10$,求正方形 ABCD 的面积.
答案：解:由勾股定理,得 $BC^2=CE^2-BE^2=10^2-6^2=64$,
$\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的面积为 $BC^2=64$.
$\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的面积为 $BC^2=64$.
解析：
【分析】
解题时先从图形特征入手，正方形ABCD的内角∠B为直角，因此△EBC是直角三角形。题目要求正方形的面积，本质就是求边长BC的平方，而已知直角三角形的斜边EC和直角边EB的长度，可直接用勾股定理计算BC²，无需算出BC的具体数值即可得到正方形面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，△EBC为直角三角形。
根据勾股定理，在$Rt△ EBC$中：
$BC^2 = CE^2 - BE^2$
代入已知数据$EB=6$，$EC=10$得：
$BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
∵正方形ABCD的面积等于边长的平方即$BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为64。
【答案】
64
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考察勾股定理在特殊四边形中的应用，解题的关键是利用正方形内角为直角的性质构造直角三角形，同时注意直接利用边长的平方求面积可简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时先从图形特征入手，正方形ABCD的内角∠B为直角，因此△EBC是直角三角形。题目要求正方形的面积，本质就是求边长BC的平方，而已知直角三角形的斜边EC和直角边EB的长度，可直接用勾股定理计算BC²，无需算出BC的具体数值即可得到正方形面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，△EBC为直角三角形。
根据勾股定理，在$Rt△ EBC$中：
$BC^2 = CE^2 - BE^2$
代入已知数据$EB=6$，$EC=10$得：
$BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
∵正方形ABCD的面积等于边长的平方即$BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为64。
【答案】
64
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，正方形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考察勾股定理在特殊四边形中的应用，解题的关键是利用正方形内角为直角的性质构造直角三角形，同时注意直接利用边长的平方求面积可简化计算。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$于点$D$,$AB=17$,$BD=15$,$DC=6$,求$AC$的长.
答案：解:$\because AB=17,BD=15,AD⊥ BC$,
$\therefore AD^2=AB^2-BD^2=17^2-15^2=64$,
$\therefore AC^2=AD^2+CD^2=64+6^2=100$,
$\therefore AC=10$.
$\therefore AD^2=AB^2-BD^2=17^2-15^2=64$,
$\therefore AC^2=AD^2+CD^2=64+6^2=100$,
$\therefore AC=10$.
解析：
【分析】
已知AD垂直BC，可得△ABD与△ACD都是直角三角形。我们可以先在Rt△ABD中，利用已知的AB、BD的长度，通过勾股定理计算出AD的长度，再将AD作为已知条件，在Rt△ACD中结合DC的长度，再次运用勾股定理求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=17，BD=15，根据勾股定理：
$AD^2=AB^2-BD^2=17^2-15^2=289-225=64$，
在Rt△ACD中，DC=6，根据勾股定理：
$AC^2=AD^2+DC^2=64+6^2=64+36=100$，
∵线段长度为正数，
∴AC=√100=10。
【答案】
AC的长为10
【知识点】
勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边AD作为中间量，两次运用勾股定理即可求解，注意计算开方时取正的算术平方根即可。
【难度系数】
0.85
已知AD垂直BC，可得△ABD与△ACD都是直角三角形。我们可以先在Rt△ABD中，利用已知的AB、BD的长度，通过勾股定理计算出AD的长度，再将AD作为已知条件，在Rt△ACD中结合DC的长度，再次运用勾股定理求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=17，BD=15，根据勾股定理：
$AD^2=AB^2-BD^2=17^2-15^2=289-225=64$，
在Rt△ACD中，DC=6，根据勾股定理：
$AC^2=AD^2+DC^2=64+6^2=64+36=100$，
∵线段长度为正数，
∴AC=√100=10。
【答案】
AC的长为10
【知识点】
勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边AD作为中间量，两次运用勾股定理即可求解，注意计算开方时取正的算术平方根即可。
【难度系数】
0.85