1. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长分别是$a,b,c$. 判断下列$△ ABC$是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(1)$a=2,b=3,c=4$;
(2)$a=5,b=7,c=9$;
(3)$a=15,b=8,c=17$;
(4)$a=41,b=9,c=40$.
(1)$a=2,b=3,c=4$;
(2)$a=5,b=7,c=9$;
(3)$a=15,b=8,c=17$;
(4)$a=41,b=9,c=40$.
答案：(1)解:
∵a=2,b=3,c=4,
∴a²=4,b²=9,c²=16.
∵4+9=13≠16,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(2)
∵a=5,b=7,c=9,
∴a²=25,b²=49,c²=81.
∵25+49=74≠81,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(3)
∵a=15,b=8,c=17,
∴a²=225,b²=64,c²=289.
∵225+64=289,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.
(4)
∵a=41,b=9,c=40,
∴a²=1681,b²=81,c²=1600.
∵81+1600=1681,
∴b²+c²=a²,
∴△ABC是直角三角形,∠A=90°.
∵a=2,b=3,c=4,
∴a²=4,b²=9,c²=16.
∵4+9=13≠16,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(2)
∵a=5,b=7,c=9,
∴a²=25,b²=49,c²=81.
∵25+49=74≠81,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(3)
∵a=15,b=8,c=17,
∴a²=225,b²=64,c²=289.
∵225+64=289,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.
(4)
∵a=41,b=9,c=40,
∴a²=1681,b²=81,c²=1600.
∵81+1600=1681,
∴b²+c²=a²,
∴△ABC是直角三角形,∠A=90°.
解析：
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时每一问先确定三边中的最长边，再分别计算各边的平方，验证两条短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可得出结论。
【解析】
(1)
∵$a=2,b=3,c=4$,
∴$a^2=4,b^2=9,c^2=16$.
∵$4+9=13≠16$,
∴$a^2+b^2≠c^2$,
∴$△ABC$不是直角三角形.
(2)
∵$a=5,b=7,c=9$,
∴$a^2=25,b^2=49,c^2=81$.
∵$25+49=74≠81$,
∴$a^2+b^2≠c^2$,
∴$△ABC$不是直角三角形.
(3)
∵$a=15,b=8,c=17$,
∴$a^2=225,b^2=64,c^2=289$.
∵$225+64=289$,
∴$a^2+b^2=c^2$,
∴$△ABC$是直角三角形,$∠C=90°$.
(4)
∵$a=41,b=9,c=40$,
∴$a^2=1681,b^2=81,c^2=1600$.
∵$81+1600=1681$,
∴$b^2+c^2=a^2$,
∴$△ABC$是直角三角形,$∠A=90°$.
【答案】
(1) $△ABC$不是直角三角形；
(2) $△ABC$不是直角三角形；
(3) $△ABC$是直角三角形，$∠C$为直角；
(4) $△ABC$是直角三角形，$∠A$为直角。
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再验证三边平方的数量关系，注意直角为最长边所对的内角，避免混淆对应角。
【难度系数】
0.85
要判断三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时每一问先确定三边中的最长边，再分别计算各边的平方，验证两条短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可得出结论。
【解析】
(1)
∵$a=2,b=3,c=4$,
∴$a^2=4,b^2=9,c^2=16$.
∵$4+9=13≠16$,
∴$a^2+b^2≠c^2$,
∴$△ABC$不是直角三角形.
(2)
∵$a=5,b=7,c=9$,
∴$a^2=25,b^2=49,c^2=81$.
∵$25+49=74≠81$,
∴$a^2+b^2≠c^2$,
∴$△ABC$不是直角三角形.
(3)
∵$a=15,b=8,c=17$,
∴$a^2=225,b^2=64,c^2=289$.
∵$225+64=289$,
∴$a^2+b^2=c^2$,
∴$△ABC$是直角三角形,$∠C=90°$.
(4)
∵$a=41,b=9,c=40$,
∴$a^2=1681,b^2=81,c^2=1600$.
∵$81+1600=1681$,
∴$b^2+c^2=a^2$,
∴$△ABC$是直角三角形,$∠A=90°$.
【答案】
(1) $△ABC$不是直角三角形；
(2) $△ABC$不是直角三角形；
(3) $△ABC$是直角三角形，$∠C$为直角；
(4) $△ABC$是直角三角形，$∠A$为直角。
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再验证三边平方的数量关系，注意直角为最长边所对的内角，避免混淆对应角。
【难度系数】
0.85
2. 已知$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且$a=m^2 - 1,b=2m,c=m^2 + 1$，则$△ ABC$是直角三角形吗？请证明你的结论.
答案：解:△ABC是直角三角形,证明如下:
∵a² + b² = (m² - 1)² + (2m)² = m⁴ - 2m² + 1 + 4m² = m⁴ + 2m² + 1 = (m² + 1)² = c²,
∴△ABC是直角三角形.
∵a² + b² = (m² - 1)² + (2m)² = m⁴ - 2m² + 1 + 4m² = m⁴ + 2m² + 1 = (m² + 1)² = c²,
∴△ABC是直角三角形.
解析：
【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先确定三边中的最长边，本题中c=m²+1是最长边，接下来只需计算a²+b²，验证其结果是否等于c²即可。
【解析】
△ABC是直角三角形，证明如下：
∵a² + b² = (m² - 1)² + (2m)²
= m⁴ - 2m² + 1 + 4m²
= m⁴ + 2m² + 1
= (m² + 1)²
又
∵c = m² + 1，即c² = (m² + 1)²
∴a² + b² = c²
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；整式化简运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是熟练掌握逆定理的判定逻辑，同时要准确完成整式乘方、合并同类项等运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断一个三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先确定三边中的最长边，本题中c=m²+1是最长边，接下来只需计算a²+b²，验证其结果是否等于c²即可。
【解析】
△ABC是直角三角形，证明如下：
∵a² + b² = (m² - 1)² + (2m)²
= m⁴ - 2m² + 1 + 4m²
= m⁴ + 2m² + 1
= (m² + 1)²
又
∵c = m² + 1，即c² = (m² + 1)²
∴a² + b² = c²
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；整式化简运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是熟练掌握逆定理的判定逻辑，同时要准确完成整式乘方、合并同类项等运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$边上一点,连接$AD$,若$AB=10$,$AC=17$,$BD=6$,$AD=8$.
(1)求证:$△ ABD$是直角三角形;
(2)求$BC$的长.
(1)求证:$△ ABD$是直角三角形;
(2)求$BC$的长.
答案：(1)证明:
∵BD=6,AD=8,AB=10,
∴BD²+AD²=6²+8²=100=AB²,
∴△ABD是直角三角形.
(2)解:由(1)知,△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°,在Rt△ADC中,AD²+CD²=AC²,
∵AD=8,AC=17,
∴CD=15.
∵BD=6,
∴BC=BD+CD=6+15=21.
∵BD=6,AD=8,AB=10,
∴BD²+AD²=6²+8²=100=AB²,
∴△ABD是直角三角形.
(2)解:由(1)知,△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°,在Rt△ADC中,AD²+CD²=AC²,
∵AD=8,AC=17,
∴CD=15.
∵BD=6,
∴BC=BD+CD=6+15=21.
解析：
【分析】
(1)要证明△ABD是直角三角形，已知三边长度，可直接用勾股定理的逆定理判定：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需计算BD、AD的平方和，验证是否等于AB的平方即可。
(2)由第一问的结论可得∠ADB=90°，根据邻补角性质可知∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，此时已知AD、AC的长度，用勾股定理可求出CD的长，再结合BC=BD+CD即可求得BC的总长。
【解析】
(1)证明：
∵BD=6，AD=8，AB=10，
∴BD²+AD²=6²+8²=36+64=100=AB²，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形。
(2)解：由(1)知△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°，即△ADC为直角三角形，
在Rt△ADC中，根据勾股定理有AD²+CD²=AC²，
代入AD=8，AC=17，得8²+CD²=17²，
解得CD²=289-64=225，
∵CD为线段长度，取正值，
∴CD=15，
又
∵BD=6，
∴BC=BD+CD=6+15=21。
【答案】
(1)△ABD是直角三角形，证明成立；
(2)BC的长为21。
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，第一问用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键，为第二问的计算做了铺垫，解题时要注意前后设问的关联性，熟练掌握勾股定理及其逆定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ABD是直角三角形，已知三边长度，可直接用勾股定理的逆定理判定：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需计算BD、AD的平方和，验证是否等于AB的平方即可。
(2)由第一问的结论可得∠ADB=90°，根据邻补角性质可知∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，此时已知AD、AC的长度，用勾股定理可求出CD的长，再结合BC=BD+CD即可求得BC的总长。
【解析】
(1)证明：
∵BD=6，AD=8，AB=10，
∴BD²+AD²=6²+8²=36+64=100=AB²，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形。
(2)解：由(1)知△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°，即△ADC为直角三角形，
在Rt△ADC中，根据勾股定理有AD²+CD²=AC²，
代入AD=8，AC=17，得8²+CD²=17²，
解得CD²=289-64=225，
∵CD为线段长度，取正值，
∴CD=15，
又
∵BD=6，
∴BC=BD+CD=6+15=21。
【答案】
(1)△ABD是直角三角形，证明成立；
(2)BC的长为21。
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股定理、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，第一问用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键，为第二问的计算做了铺垫，解题时要注意前后设问的关联性，熟练掌握勾股定理及其逆定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ B = 90°, AB = 20, BC = 15, CD = 7, DA = 24$,求四边形 $ABCD$ 的面积.
答案：解:连接AC.
∵∠B=90°,
∴AC²=AB²+BC²=20²+15²=625=25².
∵7²+24²=25²,
∴CD²+DA²=AC²,
∴△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,
∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = 1/2 × 20 × 15 + 1/2 × 7 × 24 = 234.
∵∠B=90°,
∴AC²=AB²+BC²=20²+15²=625=25².
∵7²+24²=25²,
∴CD²+DA²=AC²,
∴△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,
∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = 1/2 × 20 × 15 + 1/2 × 7 × 24 = 234.
解析：
【分析】
本题要求不规则四边形的面积，无法直接套用公式计算，因此考虑用分割法转化为三角形面积之和求解。首先观察到∠B为90°，因此连接AC，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再将AC的长度与△ADC的另外两条边长度作比较，利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若为直角三角形，即可分别计算两个直角三角形的面积，求和得到四边形的面积。
【解析】
解：连接AC。
∵∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625=25^2$，即$AC=25$。
又
∵$CD^2+DA^2=7^2+24^2=49+576=625=AC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ADC是直角三角形，且$∠ADC=90°$。
∴四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ADC} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AD×CD = \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 150 + 84 = 234$。
【答案】
234
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是求不规则图形面积的典型题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为三角形，结合勾股定理及其逆定理判断直角三角形，进而求解面积，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则四边形的面积，无法直接套用公式计算，因此考虑用分割法转化为三角形面积之和求解。首先观察到∠B为90°，因此连接AC，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再将AC的长度与△ADC的另外两条边长度作比较，利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若为直角三角形，即可分别计算两个直角三角形的面积，求和得到四边形的面积。
【解析】
解：连接AC。
∵∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625=25^2$，即$AC=25$。
又
∵$CD^2+DA^2=7^2+24^2=49+576=625=AC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ADC是直角三角形，且$∠ADC=90°$。
∴四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ADC} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AD×CD = \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 150 + 84 = 234$。
【答案】
234
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是求不规则图形面积的典型题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为三角形，结合勾股定理及其逆定理判断直角三角形，进而求解面积，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7