1. 平面直角坐标系中有一点 $ P(2a - 4, a + 3) $，请根据题意解答下列问题：
(1)若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，求点 $ P $ 的坐标；
(2)若点 $ Q $ 的坐标为 $ (6, -1) $，且 $ PQ // y $ 轴，求点 $ P $ 的坐标；
(3)若点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 2，求 $ a $ 的值。
(1)若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，求点 $ P $ 的坐标；
(2)若点 $ Q $ 的坐标为 $ (6, -1) $，且 $ PQ // y $ 轴，求点 $ P $ 的坐标；
(3)若点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 2，求 $ a $ 的值。
答案：(1) 解:
∵点 P(2a−4,a+3) 在 x 轴上，
∴a+3=0,解得 a=−3，
∴2a−4=2×(−3)−4=−10，
∴点 P 的坐标为(−10,0).
(2) 解:
∵PQ//y 轴,
∴2a−4=6,解得 a=5，
∴a+3=5+3=8,
∴点 P 的坐标为(6,8).
(3) 解:
∵点 P 到 y 轴的距离为 2,
∴|2a−4|=2，
∴2a−4=2 或 2a−4=−2,解得 a=3 或 a=1.
∵点 P(2a−4,a+3) 在 x 轴上，
∴a+3=0,解得 a=−3，
∴2a−4=2×(−3)−4=−10，
∴点 P 的坐标为(−10,0).
(2) 解:
∵PQ//y 轴,
∴2a−4=6,解得 a=5，
∴a+3=5+3=8,
∴点 P 的坐标为(6,8).
(3) 解:
∵点 P 到 y 轴的距离为 2,
∴|2a−4|=2，
∴2a−4=2 或 2a−4=−2,解得 a=3 或 a=1.
解析：
【分析】
本题可根据平面直角坐标系中点的坐标性质逐一求解：
(1) x轴上的点纵坐标为0，因此先令点P的纵坐标等于0求出a的值，再代入横坐标表达式即可得到P点坐标；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此令点P的横坐标等于点Q的横坐标求出a，再代入纵坐标表达式得到P点坐标；
(3) 点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，因此列出关于a的绝对值方程，分两种情况解方程即可得到a的取值。
【解析】
(1) 解:
∵点$ P(2a - 4, a + 3) $在$ x $轴上，
∴$a+3=0$,解得$a=-3$，
∴$2a-4=2×(-3)-4=-10$，
∴点$ P $的坐标为$(-10,0)$.
(2) 解:
∵$PQ // y $轴,
∴$2a-4=6$,解得$a=5$，
∴$a+3=5+3=8$,
∴点$ P $的坐标为$(6,8)$.
(3) 解:
∵点$ P $到$ y $轴的距离为 2,
∴$|2a-4|=2$，
∴$2a-4=2$ 或 $2a-4=-2$,解得$a=3$ 或 $a=1$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-10,0)}$；(2) $\boldsymbol{(6,8)}$；(3) $\boldsymbol{a=3}$或$\boldsymbol{a=1}$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查不同位置点的坐标性质，解题时要注意第三问中绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题可根据平面直角坐标系中点的坐标性质逐一求解：
(1) x轴上的点纵坐标为0，因此先令点P的纵坐标等于0求出a的值，再代入横坐标表达式即可得到P点坐标；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此令点P的横坐标等于点Q的横坐标求出a，再代入纵坐标表达式得到P点坐标；
(3) 点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，因此列出关于a的绝对值方程，分两种情况解方程即可得到a的取值。
【解析】
(1) 解:
∵点$ P(2a - 4, a + 3) $在$ x $轴上，
∴$a+3=0$,解得$a=-3$，
∴$2a-4=2×(-3)-4=-10$，
∴点$ P $的坐标为$(-10,0)$.
(2) 解:
∵$PQ // y $轴,
∴$2a-4=6$,解得$a=5$，
∴$a+3=5+3=8$,
∴点$ P $的坐标为$(6,8)$.
(3) 解:
∵点$ P $到$ y $轴的距离为 2,
∴$|2a-4|=2$，
∴$2a-4=2$ 或 $2a-4=-2$,解得$a=3$ 或 $a=1$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-10,0)}$；(2) $\boldsymbol{(6,8)}$；(3) $\boldsymbol{a=3}$或$\boldsymbol{a=1}$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查不同位置点的坐标性质，解题时要注意第三问中绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 已知，$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$.
（1）如图，在平面直角坐标系中描出各点，画出$△ ABC$；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）设点$P$在坐标轴上，且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标.
（1）如图，在平面直角坐标系中描出各点，画出$△ ABC$；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）设点$P$在坐标轴上，且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标.
答案：
(1) 如答图,△ABC 即为所求.
(2)
∴△ABC 的面积为 $4×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=4$.
(3) 当点 P 在 x 轴上时,△ABP 的面积为 $\frac{1}{2} BP·AO=4$，
即 $\frac{1}{2} BP×1=4$,解得 BP=8，
∴点 P 的坐标为(10,0)或(−6,0)；
当点 P 在 y 轴上时,△ABP 的面积为 $\frac{1}{2} AP·BO=4$，
即 $\frac{1}{2} AP×2=4$,解得 AP=4，
∴点 P 的坐标为(0,5)或(0,−3).
综上可知,点 P 的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0)或(−6,0).
(1) 如答图,△ABC 即为所求.
(2)
∴△ABC 的面积为 $4×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=4$.
(3) 当点 P 在 x 轴上时,△ABP 的面积为 $\frac{1}{2} BP·AO=4$，
即 $\frac{1}{2} BP×1=4$,解得 BP=8，
∴点 P 的坐标为(10,0)或(−6,0)；
当点 P 在 y 轴上时,△ABP 的面积为 $\frac{1}{2} AP·BO=4$，
即 $\frac{1}{2} AP×2=4$,解得 AP=4，
∴点 P 的坐标为(0,5)或(0,−3).
综上可知,点 P 的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0)或(−6,0).
解析：
【分析】
（1）第一小问根据平面直角坐标系内点的坐标特征，横坐标对应x轴数值，纵坐标对应y轴数值，找到三个点的位置后顺次连接即可画出△ABC；
（2）第二小问△ABC没有直接可求的底和高，采用割补法：将△ABC放入长为4、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
（3）第三小问需分类讨论：①点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为点A到x轴的距离（即AO=1），根据面积相等列方程求出BP的长度，再结合点B的坐标得到P的坐标；②点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为点B到y轴的距离（即BO=2），同理列方程求出AP的长度，结合点A的坐标得到P的坐标，注意两种情况都要考虑点在已知点的两侧，避免漏解。
【解析】
（1）根据点的坐标，在坐标系中找到A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)的位置，顺次连接三点，得到的△ABC即为所求。
（2）用补形法计算面积：
补成的长为4、宽为3的矩形面积为$4×3=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此$S_{△ABC}=12-4-1-3=4$。
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时：
△ABP的高为点A到x轴的距离$AO=1$，由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$，
已知点B坐标为(2,0)，则P在B右侧时坐标为$(2+8,0)=(10,0)$，P在B左侧时坐标为$(2-8,0)=(-6,0)$；
②当点P在y轴上时：
△ABP的高为点B到y轴的距离$BO=2$，由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$，
已知点A坐标为(0,1)，则P在A上方时坐标为$(0,1+4)=(0,5)$，P在A下方时坐标为$(0,1-4)=(0,-3)$。
【答案】
(1) 如答图,△ABC 即为所求.
(2) △ABC的面积为4；
(3) 点P的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0)或(−6,0)。
【知识点】
1. 坐标系内描点
2. 割补法求面积
3. 分类讨论求点坐标
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关应用，核心是掌握割补法求网格内图形面积的方法，解题时要注意分类讨论思想的运用，在求解坐标轴上的点坐标时，需考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问根据平面直角坐标系内点的坐标特征，横坐标对应x轴数值，纵坐标对应y轴数值，找到三个点的位置后顺次连接即可画出△ABC；
（2）第二小问△ABC没有直接可求的底和高，采用割补法：将△ABC放入长为4、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
（3）第三小问需分类讨论：①点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为点A到x轴的距离（即AO=1），根据面积相等列方程求出BP的长度，再结合点B的坐标得到P的坐标；②点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为点B到y轴的距离（即BO=2），同理列方程求出AP的长度，结合点A的坐标得到P的坐标，注意两种情况都要考虑点在已知点的两侧，避免漏解。
【解析】
（1）根据点的坐标，在坐标系中找到A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)的位置，顺次连接三点，得到的△ABC即为所求。
（2）用补形法计算面积：
补成的长为4、宽为3的矩形面积为$4×3=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此$S_{△ABC}=12-4-1-3=4$。
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时：
△ABP的高为点A到x轴的距离$AO=1$，由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$，
已知点B坐标为(2,0)，则P在B右侧时坐标为$(2+8,0)=(10,0)$，P在B左侧时坐标为$(2-8,0)=(-6,0)$；
②当点P在y轴上时：
△ABP的高为点B到y轴的距离$BO=2$，由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$，
已知点A坐标为(0,1)，则P在A上方时坐标为$(0,1+4)=(0,5)$，P在A下方时坐标为$(0,1-4)=(0,-3)$。
【答案】
(1) 如答图,△ABC 即为所求.
(2) △ABC的面积为4；
(3) 点P的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0)或(−6,0)。
【知识点】
1. 坐标系内描点
2. 割补法求面积
3. 分类讨论求点坐标
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关应用，核心是掌握割补法求网格内图形面积的方法，解题时要注意分类讨论思想的运用，在求解坐标轴上的点坐标时，需考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度,A,B均为格点.
(1)在图中建立平面直角坐标系,使点A,B的坐标分别为$(3,3)$和$(-1,0)$;
(2)在(1)中建立的平面直角坐标系的$x$轴上是否存在点$C$,使$△ ABC$是以$AB$为腰的等腰三角形?若存在,请写出所有满足条件的点$C$的坐标.
(1)在图中建立平面直角坐标系,使点A,B的坐标分别为$(3,3)$和$(-1,0)$;
(2)在(1)中建立的平面直角坐标系的$x$轴上是否存在点$C$,使$△ ABC$是以$AB$为腰的等腰三角形?若存在,请写出所有满足条件的点$C$的坐标.
答案：
(1) 如答图.
(2) 存在点 C,使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形.
如答图,$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
当 AB=AC 时,BC=8,
∴C(7,0)；
当 AB=BC 时,BC=5,
∴C(−6,0)或(4,0).
∴所有满足条件的点 C 的坐标为(7,0)或(4,0)或(−6,0).
(1) 如答图.
(2) 存在点 C,使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形.
如答图,$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
当 AB=AC 时,BC=8,
∴C(7,0)；
当 AB=BC 时,BC=5,
∴C(−6,0)或(4,0).
∴所有满足条件的点 C 的坐标为(7,0)或(4,0)或(−6,0).
解析：
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系时，根据点B的坐标(-1,0)可知x轴过点B，原点在点B右侧1个单位长度处，过原点作竖直方向的y轴，再验证点A的坐标是否为(3,3)即可完成坐标系建立。
(2) 要判断x轴上是否存在点C使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①以A为顶角顶点，即AB=AC；②以B为顶角顶点，即AB=BC。首先用勾股定理算出AB的长度，再结合x轴上点的纵坐标为0的特点，分别计算两种情况下点C的坐标即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 取过点B的水平线为x轴，点B向右1个单位的位置为原点，过原点作竖直向上的y轴，建立平面直角坐标系，此时点A坐标为(3,3)，点B坐标为(-1,0)，符合要求，如答图所示。
(2) 存在这样的点C，计算如下：
首先计算AB的长度：由A(3,3)、B(-1,0)，根据勾股定理得$AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分两种情况讨论：
① 当$AB=AC$时，点C在x轴上，过A作x轴的垂线，垂足为$(3,0)$，根据等腰三角形三线合一的性质，该垂足是BC的中点，因此点C的横坐标为$3+[3-(-1)]=7$，纵坐标为0，即$C(7,0)$。
② 当$AB=BC=5$时，点B坐标为$(-1,0)$，点C在x轴上：
若点C在点B右侧，横坐标为$-1+5=4$，即$C(4,0)$；
若点C在点B左侧，横坐标为$-1-5=-6$，即$C(-6,0)$。
综上，所有满足条件的点C坐标为$(7,0)$、$(4,0)$、$(-6,0)$。
【答案】
(1) 如答图.
(2) 存在点 C,使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形.
所有满足条件的点 C 的坐标为(7,0)或(4,0)或(−6,0).
【知识点】
平面直角坐标系的建立，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查等腰三角形的存在性问题，解题的关键是合理分类讨论，避免漏解，同时需熟练运用勾股定理计算坐标系中两点的距离，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 建立平面直角坐标系时，根据点B的坐标(-1,0)可知x轴过点B，原点在点B右侧1个单位长度处，过原点作竖直方向的y轴，再验证点A的坐标是否为(3,3)即可完成坐标系建立。
(2) 要判断x轴上是否存在点C使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①以A为顶角顶点，即AB=AC；②以B为顶角顶点，即AB=BC。首先用勾股定理算出AB的长度，再结合x轴上点的纵坐标为0的特点，分别计算两种情况下点C的坐标即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 取过点B的水平线为x轴，点B向右1个单位的位置为原点，过原点作竖直向上的y轴，建立平面直角坐标系，此时点A坐标为(3,3)，点B坐标为(-1,0)，符合要求，如答图所示。
(2) 存在这样的点C，计算如下：
首先计算AB的长度：由A(3,3)、B(-1,0)，根据勾股定理得$AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
分两种情况讨论：
① 当$AB=AC$时，点C在x轴上，过A作x轴的垂线，垂足为$(3,0)$，根据等腰三角形三线合一的性质，该垂足是BC的中点，因此点C的横坐标为$3+[3-(-1)]=7$，纵坐标为0，即$C(7,0)$。
② 当$AB=BC=5$时，点B坐标为$(-1,0)$，点C在x轴上：
若点C在点B右侧，横坐标为$-1+5=4$，即$C(4,0)$；
若点C在点B左侧，横坐标为$-1-5=-6$，即$C(-6,0)$。
综上，所有满足条件的点C坐标为$(7,0)$、$(4,0)$、$(-6,0)$。
【答案】
(1) 如答图.
(2) 存在点 C,使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形.
所有满足条件的点 C 的坐标为(7,0)或(4,0)或(−6,0).
【知识点】
平面直角坐标系的建立，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查等腰三角形的存在性问题，解题的关键是合理分类讨论，避免漏解，同时需熟练运用勾股定理计算坐标系中两点的距离，是几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.7