1.已知正比例函数 $y=mx^{m^2 - 3}$，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的值.
答案：解:$\because y=mx^{m^2 - 3}$是正比例函数，
$\therefore m^2 - 3=1$,解得 $m=\pm2$.
$\because y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore m＞0,\therefore m=2$.
$\therefore m^2 - 3=1$,解得 $m=\pm2$.
$\because y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore m＞0,\therefore m=2$.
解析：
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：第一步先根据正比例函数的定义确定m的可能取值，正比例函数的形式为y=kx（k为常数，k≠0），因此x的次数必须为1，且比例系数不为0；第二步再结合“y随x的增大而增大”的性质，正比例函数中当比例系数大于0时，y随x的增大而增大，据此筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：$\because y=mx^{m^2 - 3}$是正比例函数，
$\therefore x$的次数为1，且比例系数$m≠0$，即$m^2 - 3=1$，
解得$m=\pm2$，两个解均满足$m≠0$的要求。
$\because y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$正比例函数的比例系数$m＞0$，
$\therefore$舍去$m=-2$，得$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质
【点评】
本题是正比例函数的基础常考题，解题时需同时兼顾定义和性质两个限制条件，避免只考虑次数要求忽略比例系数的符号要求，导致出现多解的错误。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，需分两步思考：第一步先根据正比例函数的定义确定m的可能取值，正比例函数的形式为y=kx（k为常数，k≠0），因此x的次数必须为1，且比例系数不为0；第二步再结合“y随x的增大而增大”的性质，正比例函数中当比例系数大于0时，y随x的增大而增大，据此筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：$\because y=mx^{m^2 - 3}$是正比例函数，
$\therefore x$的次数为1，且比例系数$m≠0$，即$m^2 - 3=1$，
解得$m=\pm2$，两个解均满足$m≠0$的要求。
$\because y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$正比例函数的比例系数$m＞0$，
$\therefore$舍去$m=-2$，得$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质
【点评】
本题是正比例函数的基础常考题，解题时需同时兼顾定义和性质两个限制条件，避免只考虑次数要求忽略比例系数的符号要求，导致出现多解的错误。
【难度系数】
0.75
2. 已知正比例函数 $ y = kx $.
(1)若函数图象经过第二、四象限,求 $ k $ 的取值范围;
(2)若点$(1, -2)$在正比例函数 $ y = kx $ 的图象上,求该函数的表达式.
(1)若函数图象经过第二、四象限,求 $ k $ 的取值范围;
(2)若点$(1, -2)$在正比例函数 $ y = kx $ 的图象上,求该函数的表达式.
答案：解:(1)$\because$ 函数图象经过第二、四象限,$\therefore k＜0$.
(2)由题意知当 $x=1$ 时,$y=-2$,$\therefore k=-2$,
即 $y=-2x$.
(2)由题意知当 $x=1$ 时,$y=-2$,$\therefore k=-2$,
即 $y=-2x$.
解析：
【分析】
(1) 解题时先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。已知图象过第二、四象限，直接对应性质即可推导$k$的取值范围。
(2) 若点在函数图象上，说明点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点的坐标代入$y=kx$，可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$的值后，代回原式即可得到函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，结合正比例函数的图象性质，
$\therefore k＜0$。
(2) $\because$ 点$(1, -2)$在正比例函数$y=kx$的图象上，
$\therefore$ 把$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，得$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
$\therefore$ 该函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
(1) $k＜0$；(2) $y=-2x$
【知识点】
正比例函数的性质；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，重点考察核心性质和基础解题方法的应用，掌握正比例函数的图象性质、理解函数图象上的点与解析式的对应关系是解题的关键，这类知识点是后续学习一次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。已知图象过第二、四象限，直接对应性质即可推导$k$的取值范围。
(2) 若点在函数图象上，说明点的横、纵坐标满足函数解析式，因此将点的坐标代入$y=kx$，可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$的值后，代回原式即可得到函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，结合正比例函数的图象性质，
$\therefore k＜0$。
(2) $\because$ 点$(1, -2)$在正比例函数$y=kx$的图象上，
$\therefore$ 把$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，得$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
$\therefore$ 该函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
(1) $k＜0$；(2) $y=-2x$
【知识点】
正比例函数的性质；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，重点考察核心性质和基础解题方法的应用，掌握正比例函数的图象性质、理解函数图象上的点与解析式的对应关系是解题的关键，这类知识点是后续学习一次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 已知正比例函数$y=(2m+4)x$.
(1)$m$为何值时,函数图象经过第一、三象限?
(2)$m$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(3)$m$为何值时,点$(1,3)$在该函数图象上?
(1)$m$为何值时,函数图象经过第一、三象限?
(2)$m$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(3)$m$为何值时,点$(1,3)$在该函数图象上?
答案：解:(1)$\because$ 函数图象经过第一、三象限,
$\therefore 2m+4＞0$,解得 $m＞-2$.
(2)$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore 2m+4＜0$,解得 $m＜-2$.
(3)$\because$ 点$(1,3)$在该函数图象上,
$\therefore 2m+4=3$,解得 $m=-\frac{1}{2}$.
$\therefore 2m+4＞0$,解得 $m＞-2$.
(2)$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore 2m+4＜0$,解得 $m＜-2$.
(3)$\because$ 点$(1,3)$在该函数图象上,
$\therefore 2m+4=3$,解得 $m=-\frac{1}{2}$.
解析：
【分析】
本题围绕正比例函数的核心性质设计问题，解题思路可按对应性质分步推导：
1. 正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时图象经过第一、三象限，因此第(1)问只需令$x$的系数大于0，解不等式即可得$m$的取值范围；
2. 正比例函数中，当$k＜0$时$y$随$x$的增大而减小，因此第(2)问令$x$的系数小于0，解不等式即可；
3. 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此第(3)问将点的坐标代入解析式，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1)$\because$ 函数图象经过第一、三象限，
$\therefore 2m+4＞0$，解得 $m＞-2$。
(2)$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小，
$\therefore 2m+4＜0$，解得 $m＜-2$。
(3)$\because$ 点$(1,3)$在该函数图象上，
$\therefore$ 将$x=1,y=3$代入解析式得$2m+4=3$，解得 $m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$m＞-2$；(2)$m＜-2$；(3)$m=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的性质、函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式（方程）的解法
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查比例系数$k$对函数图象、增减性的影响，以及点坐标与函数解析式的对应关系，解题时只需对应性质列式计算即可，是该模块必须掌握的基础题。
【难度系数】
0.85
本题围绕正比例函数的核心性质设计问题，解题思路可按对应性质分步推导：
1. 正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时图象经过第一、三象限，因此第(1)问只需令$x$的系数大于0，解不等式即可得$m$的取值范围；
2. 正比例函数中，当$k＜0$时$y$随$x$的增大而减小，因此第(2)问令$x$的系数小于0，解不等式即可；
3. 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，因此第(3)问将点的坐标代入解析式，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1)$\because$ 函数图象经过第一、三象限，
$\therefore 2m+4＞0$，解得 $m＞-2$。
(2)$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小，
$\therefore 2m+4＜0$，解得 $m＜-2$。
(3)$\because$ 点$(1,3)$在该函数图象上，
$\therefore$ 将$x=1,y=3$代入解析式得$2m+4=3$，解得 $m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$m＞-2$；(2)$m＜-2$；(3)$m=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的性质、函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式（方程）的解法
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查比例系数$k$对函数图象、增减性的影响，以及点坐标与函数解析式的对应关系，解题时只需对应性质列式计算即可，是该模块必须掌握的基础题。
【难度系数】
0.85