1. 如图,在平面直角坐标系中,直线$AB:y=-\dfrac{4}{3}x+4$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$,$B$,将直线$AB$向下平移$5$个单位长度,所得直线的表达式是
$y=-\dfrac{4}{3}x-1$
。答案：$y=-\dfrac{4}{3}x-1$
2. (2025·河南安阳期末)若将点$P(2,4)$向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点$Q$，则直线$PQ$的函数表达式为
$y=-2x+8$
。答案：$y=-2x+8$
[解析] $\because$ 点 $P(2,4)$ 向左平移 1 个单位长度,向上平移 2 个单位长度,得到点 $Q$,
$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为$(1,6)$.
设直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,代入 $P(2,4),Q(1,6)$,可得 $\begin{cases}2k+b=4,\\k+b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=8,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y=-2x+8$.
[解析] $\because$ 点 $P(2,4)$ 向左平移 1 个单位长度,向上平移 2 个单位长度,得到点 $Q$,
$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为$(1,6)$.
设直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,代入 $P(2,4),Q(1,6)$,可得 $\begin{cases}2k+b=4,\\k+b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=8,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y=-2x+8$.
3. (2025·湖北武汉武昌区期末)如图(1),在平面直角坐标系中,直线$y=\frac{3}{4}x -6$与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线$y=kx -1$交于点P,直线$y=kx -1$与y轴交于点C.
(1)如图(1),若点P的坐标为$(4,-3)$,直接写出不等式$kx -1≥\frac{3}{4}x -6$的解集为
(2)如图(2),平移线段AB至DC,点B与点C对应,点A与点D对应,求直线CD的表达式;
(3)在(2)的条件下,若$△ PBC$的面积是平行四边形ABCD面积的$\frac{2}{5}$,请直接写出点P的坐标.
(1)如图(1),若点P的坐标为$(4,-3)$,直接写出不等式$kx -1≥\frac{3}{4}x -6$的解集为
$x≤4$
;(2)如图(2),平移线段AB至DC,点B与点C对应,点A与点D对应,求直线CD的表达式;
(3)在(2)的条件下,若$△ PBC$的面积是平行四边形ABCD面积的$\frac{2}{5}$,请直接写出点P的坐标.
答案：(1) $x≤4$
[解析]根据题意,得点 $P$ 的坐标为 $(4,-3)$,得到其横坐标为 4,则不等式 $kx-1≥\frac{3}{4}x-6$ 的解集为 $x≤4$.
(2)直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,则 $A(8,0),B(0,-6)$.
直线 $y=kx-1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,则 $C(0,-1)$. $\because$ 平移线段 $AB$ 至 $DC$,点 $B$ 与点 $C$ 对应,点 $A$ 与点 $D$ 对应,
$\therefore k_{AB}=k_{CD}=\frac{3}{4}$.
设直线 $CD$ 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+b$,
把 $C(0,-1)$ 代入 $y=\frac{3}{4}x+b$,得 $b=-1$,
故直线 $CD$ 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x-1$.
(3)直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,则 $A(8,0),B(0,-6)$.
直线 $y=kx-1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,则 $C(0,-1)$,
$\therefore BC=-1-(-6)=5$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $BC· OA=40$.
$\because △ PBC$ 的面积是平行四边形 $ABCD$ 面积的 $\frac{2}{5}$,
$\therefore △ PBC$ 的面积是 $\frac{2}{5}×40=16$.
$\because$ 点 $P$ 在直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 上, $\therefore$ 设 $P(m,\frac{3}{4}m-6)$,
$\therefore \frac{1}{2}×5×|m|=16,\therefore m=\frac{32}{5}$ 或 $m=-\frac{32}{5}$,
$\to$ 不知道点 $P$ 具体位置,故要取绝对值
故 $P(\frac{32}{5},-\frac{6}{5})$ 或 $P(-\frac{32}{5},-\frac{54}{5})$.
归纳总结 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集、平移确定表达式、面积的计算,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
[解析]根据题意,得点 $P$ 的坐标为 $(4,-3)$,得到其横坐标为 4,则不等式 $kx-1≥\frac{3}{4}x-6$ 的解集为 $x≤4$.
(2)直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,则 $A(8,0),B(0,-6)$.
直线 $y=kx-1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,则 $C(0,-1)$. $\because$ 平移线段 $AB$ 至 $DC$,点 $B$ 与点 $C$ 对应,点 $A$ 与点 $D$ 对应,
$\therefore k_{AB}=k_{CD}=\frac{3}{4}$.
设直线 $CD$ 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x+b$,
把 $C(0,-1)$ 代入 $y=\frac{3}{4}x+b$,得 $b=-1$,
故直线 $CD$ 的表达式为 $y=\frac{3}{4}x-1$.
(3)直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,则 $A(8,0),B(0,-6)$.
直线 $y=kx-1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,则 $C(0,-1)$,
$\therefore BC=-1-(-6)=5$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $BC· OA=40$.
$\because △ PBC$ 的面积是平行四边形 $ABCD$ 面积的 $\frac{2}{5}$,
$\therefore △ PBC$ 的面积是 $\frac{2}{5}×40=16$.
$\because$ 点 $P$ 在直线 $y=\frac{3}{4}x-6$ 上, $\therefore$ 设 $P(m,\frac{3}{4}m-6)$,
$\therefore \frac{1}{2}×5×|m|=16,\therefore m=\frac{32}{5}$ 或 $m=-\frac{32}{5}$,
$\to$ 不知道点 $P$ 具体位置,故要取绝对值
故 $P(\frac{32}{5},-\frac{6}{5})$ 或 $P(-\frac{32}{5},-\frac{54}{5})$.
归纳总结 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集、平移确定表达式、面积的计算,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
4.一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象由直线$y=3x$向下平移得到，且过点$A(1,2)$。
(1)求一次函数的表达式；
(2)求直线$y=kx+b$与$x$轴的交点$B$的坐标；
(3)设坐标原点为$O$，一条直线过点$B$，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$，这条直线与$y$轴交于点$C$，求直线$AC$对应的一次函数的表达式。
(1)求一次函数的表达式；
(2)求直线$y=kx+b$与$x$轴的交点$B$的坐标；
(3)设坐标原点为$O$，一条直线过点$B$，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$，这条直线与$y$轴交于点$C$，求直线$AC$对应的一次函数的表达式。
答案：(1) $\because$ 一次函数 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 的图象由直线 $y=3x$ 向下平移得到, $\therefore k=3$. 将点 $A(1,2)$ 代入 $y=3x+b$, 得 $3+b=2$, 解得 $b=-1$, $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=3x-1$.
(2) 在 $y=3x-1$ 中, 当 $y=0$ 时, $x=\frac{1}{3}$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(\frac{1}{3},0)$.
(3) 设直线 $AC$ 的表达式为 $y=mx+n$ (其中 $m ≠ 0$), 则点 $C$ 的坐标为 $(0,n)$, 根据题意得 $S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}|n|=\frac{1}{2}$,$\therefore |n|=3$,$\therefore n=\pm3$. 当 $n=3$ 时, $m+n=2$, 解得 $m=-1$,$\therefore y=-x+3$;
当 $n=-3$ 时, $m+n=2$, 解得 $m=5$,$\therefore y=5x-3$,
$\therefore$ 直线 $AC$ 的表达式为 $y=-x+3$ 或 $y=5x-3$.
(2) 在 $y=3x-1$ 中, 当 $y=0$ 时, $x=\frac{1}{3}$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(\frac{1}{3},0)$.
(3) 设直线 $AC$ 的表达式为 $y=mx+n$ (其中 $m ≠ 0$), 则点 $C$ 的坐标为 $(0,n)$, 根据题意得 $S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}|n|=\frac{1}{2}$,$\therefore |n|=3$,$\therefore n=\pm3$. 当 $n=3$ 时, $m+n=2$, 解得 $m=-1$,$\therefore y=-x+3$;
当 $n=-3$ 时, $m+n=2$, 解得 $m=5$,$\therefore y=5x-3$,
$\therefore$ 直线 $AC$ 的表达式为 $y=-x+3$ 或 $y=5x-3$.