5. 一次函数$y=x+3$与一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的图象关于直线$x=-1$对称，$k$与$b$的值分别是(
A.$k=-3,b=-1$
B.$k=3,b=-1$
C.$k=-1,b=1$
D.$k=1,b=1$
C
)。A.$k=-3,b=-1$
B.$k=3,b=-1$
C.$k=-1,b=1$
D.$k=1,b=1$
答案：C
[解析]由直线 $y=x+3$ 可知, 直线 $y=x+3$ 经过点 $(0,3),(-3,0)$. $\because$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点横坐标的和为 $-2$, 纵坐标相同, $\therefore$ 点 $(0,3),(-3,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点分别为 $(-2,3),(1,0)$.
将 $(-2,3),(1,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}-2k+b=3,\\k+b=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}$ 故选 C.
[解析]由直线 $y=x+3$ 可知, 直线 $y=x+3$ 经过点 $(0,3),(-3,0)$. $\because$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点横坐标的和为 $-2$, 纵坐标相同, $\therefore$ 点 $(0,3),(-3,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点分别为 $(-2,3),(1,0)$.
将 $(-2,3),(1,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}-2k+b=3,\\k+b=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}$ 故选 C.
6.已知直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 关于直线 $ x=1 $ 对称，若 $ l_1 $ 的表达式为 $ y=-x+3 $，则 $ l_2 $ 的表达式是（
A.$ y=x+1 $
B.$ y=x+2 $
C.$ y=x-1 $
D.$ y=x-3 $
A
）。A.$ y=x+1 $
B.$ y=x+2 $
C.$ y=x-1 $
D.$ y=x-3 $
答案：A
[解析]令 $y=-x+3$ 中 $y=0$, 得 $x=3$; 令 $x=0$, 得 $y=3$. $\therefore$ 直线 $l_1$ 过点 $(3,0),(0,3)$.
$\because$ 直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 关于直线 $x=1$ 对称,
$\therefore$ 直线 $l_2$ 过点 $(-1,0),(2,3)$.
设直线 $l_2$ 的表达式为 $y=kx+b$, 则 $\begin{cases}-k+b=0,\\2k+b=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_2$ 的表达式是 $y=x+1$. 故选 A.
思路引导 本题考查了待定系数法,一次函数图象与坐标轴交点问题,先求出直线 $l_1$ 与两坐标轴的交点坐标,利用对称性求出直线 $l_2$ 经过的点坐标,再利用待定系数法求出表达式.
[解析]令 $y=-x+3$ 中 $y=0$, 得 $x=3$; 令 $x=0$, 得 $y=3$. $\therefore$ 直线 $l_1$ 过点 $(3,0),(0,3)$.
$\because$ 直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 关于直线 $x=1$ 对称,
$\therefore$ 直线 $l_2$ 过点 $(-1,0),(2,3)$.
设直线 $l_2$ 的表达式为 $y=kx+b$, 则 $\begin{cases}-k+b=0,\\2k+b=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_2$ 的表达式是 $y=x+1$. 故选 A.
思路引导 本题考查了待定系数法,一次函数图象与坐标轴交点问题,先求出直线 $l_1$ 与两坐标轴的交点坐标,利用对称性求出直线 $l_2$ 经过的点坐标,再利用待定系数法求出表达式.
7. 在平面直角坐标系中,将一次函数$y=kx+1(k≠0)$的图象关于$y$轴对称,对称后的图象与正比例函数$y=5x$的图象交于点$A$. 若点$A$的横坐标为$-1$,则$k$的值为(
A.4
B.$-4$
C.6
D.$-6$
D
).A.4
B.$-4$
C.6
D.$-6$
答案：D
[解析]在 $y=5x$ 中, 当 $x=-1$ 时, $y=-5$,
$\therefore A(-1,-5)$,
$\therefore$ 点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为 $(1,-5)$.
$\because$ 将一次函数 $y=kx+1(k ≠ 0)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 对称后的图象与正比例函数 $y=5x$ 的图象交于点 $A$,
$\therefore$ 点 $(1,-5)$ 在一次函数 $y=kx+1(k ≠ 0)$ 的图象上,
$\therefore -5=k+1, \therefore k=-6$. 故选 D.
[解析]在 $y=5x$ 中, 当 $x=-1$ 时, $y=-5$,
$\therefore A(-1,-5)$,
$\therefore$ 点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为 $(1,-5)$.
$\because$ 将一次函数 $y=kx+1(k ≠ 0)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 对称后的图象与正比例函数 $y=5x$ 的图象交于点 $A$,
$\therefore$ 点 $(1,-5)$ 在一次函数 $y=kx+1(k ≠ 0)$ 的图象上,
$\therefore -5=k+1, \therefore k=-6$. 故选 D.
8. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=kx+4$ 与 $x$ 轴正半轴交于一点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,已知 $△ OAB$ 的面积为 10.
(1)求这条直线的表达式;
(2)若将这条直线沿 $x$ 轴翻折,求翻折后得到的直线的表达式.
(1)求这条直线的表达式;
(2)若将这条直线沿 $x$ 轴翻折,求翻折后得到的直线的表达式.
答案：(1) 当 $y=0$ 时, $kx+4=0$, 解得 $x=-\frac{4}{k}$, 则 $A(-\frac{4}{k},0)$;
当 $x=0$ 时, $y=kx+4=4$, 则 $B(0,4)$.
因为 $△ OAB$ 的面积为 10, 所以 $\frac{1}{2}×(-\frac{4}{k})×4=10$,
解得 $k=-\frac{4}{5}$, 所以直线的表达式为 $y=-\frac{4}{5}x+4$.
(2) 将直线 $y=-\frac{4}{5}x+4$ 沿 $x$ 轴翻折, 翻折后得到的直线的表达式为 $-y=-\frac{4}{5}x+4$, 即 $y=\frac{4}{5}x-4$.
$\to$ 关于 $x$ 轴对称的点的横坐标不变, 纵坐标互为相反数
当 $x=0$ 时, $y=kx+4=4$, 则 $B(0,4)$.
因为 $△ OAB$ 的面积为 10, 所以 $\frac{1}{2}×(-\frac{4}{k})×4=10$,
解得 $k=-\frac{4}{5}$, 所以直线的表达式为 $y=-\frac{4}{5}x+4$.
(2) 将直线 $y=-\frac{4}{5}x+4$ 沿 $x$ 轴翻折, 翻折后得到的直线的表达式为 $-y=-\frac{4}{5}x+4$, 即 $y=\frac{4}{5}x-4$.
$\to$ 关于 $x$ 轴对称的点的横坐标不变, 纵坐标互为相反数
9. 将直线$y=-\frac{1}{2}x+1$绕着原点旋转$180°$，得到的直线表达式为(
A.$y=-\frac{1}{2}x-1$
B.$y=\frac{1}{2}x-1$
C.$y=\frac{1}{2}x+1$
D.$y=-2x-1$
A
).A.$y=-\frac{1}{2}x-1$
B.$y=\frac{1}{2}x-1$
C.$y=\frac{1}{2}x+1$
D.$y=-2x-1$
答案：A
[解析]直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$,
将直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 绕着原点旋转 $180°$, 得到的直线与该直线平行, 且与 $y$ 轴的交点为 $(0,-1)$,
$\therefore$ 得到的直线表达式为 $y=-\frac{1}{2}x-1$. 故选 A.
归纳总结 本题考查的是一次函数的图象与几何变换,涉及了绕原点旋转后点的坐标特点、直线与坐标轴的交点等知识,熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键.
[解析]直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,1)$,
将直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 绕着原点旋转 $180°$, 得到的直线与该直线平行, 且与 $y$ 轴的交点为 $(0,-1)$,
$\therefore$ 得到的直线表达式为 $y=-\frac{1}{2}x-1$. 故选 A.
归纳总结 本题考查的是一次函数的图象与几何变换,涉及了绕原点旋转后点的坐标特点、直线与坐标轴的交点等知识,熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键.
10. 将直线 $ y = 6x $ 绕坐标原点按顺时针方向旋转 $ 90° $ 后得到的直线表达式为
$y=-\frac{1}{6}x$
。答案：$y=-\frac{1}{6}x$
[解析] $\because$ 在函数 $y=6x$ 中, 当 $x=1$ 时, $y=6$, $\therefore$ 直线 $y=6x$ 过点 $(1,6)$,
$\therefore$ 直线 $y=6x$ 绕坐标原点顺时针旋转 $90°$ 后, 则 $(1,6)$ 的对应点为 $(6,-1)$,
$\therefore$ 可设旋转后得到的直线的表达式为 $y=kx(k ≠ 0)$.
将 $(6,-1)$ 代入, 得 $6k=-1$, 解得 $k=-\frac{1}{6}$,
$\therefore$ 旋转后得到的直线表达式为 $y=-\frac{1}{6}x$.
[解析] $\because$ 在函数 $y=6x$ 中, 当 $x=1$ 时, $y=6$, $\therefore$ 直线 $y=6x$ 过点 $(1,6)$,
$\therefore$ 直线 $y=6x$ 绕坐标原点顺时针旋转 $90°$ 后, 则 $(1,6)$ 的对应点为 $(6,-1)$,
$\therefore$ 可设旋转后得到的直线的表达式为 $y=kx(k ≠ 0)$.
将 $(6,-1)$ 代入, 得 $6k=-1$, 解得 $k=-\frac{1}{6}$,
$\therefore$ 旋转后得到的直线表达式为 $y=-\frac{1}{6}x$.
11. (2025·河北保定期末)小杰同学尝试将直线$y=2x$绕原点旋转$90°$,下面是他的探究设计,请按照他的探究操作回答以下问题：
(1)如图,在平面直角坐标系中,过点$O(0,0)$和点$A(1,2)$画出直线$l_1:y=2x$；
(2)画出点$A$绕原点逆时针旋转$90°$后的对应点$A'($
(3)过点$O$和点$A'$画出直线$l_2$,那么直线$l_2$即为直线$l_1$绕原点逆时针旋转$90°$后的图形,求直线$l_2$的函数表达式。
(1)如图,在平面直角坐标系中,过点$O(0,0)$和点$A(1,2)$画出直线$l_1:y=2x$；
(2)画出点$A$绕原点逆时针旋转$90°$后的对应点$A'($
$-2,1$
$)$；(3)过点$O$和点$A'$画出直线$l_2$,那么直线$l_2$即为直线$l_1$绕原点逆时针旋转$90°$后的图形,求直线$l_2$的函数表达式。
答案：
(1) 直线 $l_1$ 的图象如图所示
.
(2) $(-2,1)$
(3) 设直线 $l_2:y=kx(k ≠ 0)$, 代入 $A'(-2,1)$, 则 $-2k=1$,
解得 $k=-\frac{1}{2}$,$\therefore$ 直线 $l_2:y=-\frac{1}{2}x$.
(1) 直线 $l_1$ 的图象如图所示
.(2) $(-2,1)$
(3) 设直线 $l_2:y=kx(k ≠ 0)$, 代入 $A'(-2,1)$, 则 $-2k=1$,
解得 $k=-\frac{1}{2}$,$\therefore$ 直线 $l_2:y=-\frac{1}{2}x$.