1.（河南自主招生）如图(1)，在长方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→D→C方向运动到点C停止，动点Q从点C出发沿C→A方向运动到点A停止，若点P，Q同时出发，点P的速度为2 cm/s，点Q的速度为1 cm/s，设运动时间为x s，$AP - CQ = y$ cm，y与x的函数关系图象如图(2)所示，则AC的长为(
A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.14 cm
C
).A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.14 cm
答案：根据题意，结合函数图象可知，
当$0≤ x＜4$时，点P在AD上运动；
当$x=4$时，点P运动到点D，即$AD=2×4=8(\mathrm{cm})$；
当$4＜x＜7$时，点P在DC上运动；
当$x=7$时，点P运动到点C，即$CD=2×7-8=6(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，则$AC=10\ \mathrm{cm}$。
故选C。
当$0≤ x＜4$时，点P在AD上运动；
当$x=4$时，点P运动到点D，即$AD=2×4=8(\mathrm{cm})$；
当$4＜x＜7$时，点P在DC上运动；
当$x=7$时，点P运动到点C，即$CD=2×7-8=6(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，则$AC=10\ \mathrm{cm}$。
故选C。
2. 如图(1),正方形ABCD的边长为4,动点E从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿A→D→A运动,动点G从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B运动,当有一个点到达终点时,另一点随之也停止运动.过点G作FG⊥AB交AC于点F.设运动时间为t(单位:秒).以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH,△FGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)当$t=1.5$时,$S=$
(2)在如图(2)所示的网格坐标系中,设$DE=y_1$,$AG=y_2$,画出$y_1$与$y_2$关于$t$的函数图象.
(1)当$t=1.5$时,$S=$
$\frac{9}{8}$
;当$t=3$时,$S=$$\frac{5}{2}$
.(2)在如图(2)所示的网格坐标系中,设$DE=y_1$,$AG=y_2$,画出$y_1$与$y_2$关于$t$的函数图象.
答案：
(1)
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴$AB=AD=4$，$∠ CAB=45°$。
∵$△ FGH$是等腰直角三角形，
∴$∠ FGH=90°$，$FG=GH$，$∠ GFH=∠ GHF=45°$，则$AG=FG=GH=t$。当$t=1.5$时，如图(1)，重叠部分面积$S=S_{△ FGH}=\frac{1}{2}FG· GH=\frac{9}{8}$。
当$t=3$时，如图(2)。
∵$AG=FG=GH=3$，$AB=4$，
∴$GB=AB-AG=1$，$BH=GH-GB=2$。
∵$∠ PBH=90°$，$∠ H=45°$，
∴$BH=BP=2$，
则重叠部分面积$S=S_{\mathrm{梯形}PBGF}=\frac{1}{2}(PB+FG)· GB=\frac{1}{2}×(2+3)×1=\frac{5}{2}$。
(2)由题意知，点E的运动路程为$2t$，
如图(1)，点E从点A到点D，即$0≤ t≤2$时，$DE=AD-AE=4-2t$，即$y_1=4-2t$；
如图(2)，点E从点D返回点A，即$2＜t≤4$时，$DE=2t-4$，即$y_1=2t-4$，
∴$y_1=\begin{cases}4-2t(0≤ t≤2),\\2t-4(2＜t≤4),\end{cases}y_2=t(0≤ t≤4)$。
∴$y_1,y_2$关于$t$的函数图象如图(3)所示。
(1)
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴$AB=AD=4$，$∠ CAB=45°$。
∵$△ FGH$是等腰直角三角形，
∴$∠ FGH=90°$，$FG=GH$，$∠ GFH=∠ GHF=45°$，则$AG=FG=GH=t$。当$t=1.5$时，如图(1)，重叠部分面积$S=S_{△ FGH}=\frac{1}{2}FG· GH=\frac{9}{8}$。
当$t=3$时，如图(2)。
∵$AG=FG=GH=3$，$AB=4$，
∴$GB=AB-AG=1$，$BH=GH-GB=2$。
∵$∠ PBH=90°$，$∠ H=45°$，
∴$BH=BP=2$，
则重叠部分面积$S=S_{\mathrm{梯形}PBGF}=\frac{1}{2}(PB+FG)· GB=\frac{1}{2}×(2+3)×1=\frac{5}{2}$。
(2)由题意知，点E的运动路程为$2t$，
如图(1)，点E从点A到点D，即$0≤ t≤2$时，$DE=AD-AE=4-2t$，即$y_1=4-2t$；
如图(2)，点E从点D返回点A，即$2＜t≤4$时，$DE=2t-4$，即$y_1=2t-4$，
∴$y_1=\begin{cases}4-2t(0≤ t≤2),\\2t-4(2＜t≤4),\end{cases}y_2=t(0≤ t≤4)$。
∴$y_1,y_2$关于$t$的函数图象如图(3)所示。
3. (2025·泰州靖江期中改编)如图,已知$A(0,3),B(4,0)$,一次函数$y=-x+b$的图象为直线$l$,点$O$关于直线$l$的对称点$O'$恰好落在$∠ ABO$的平分线上,求$b$的值.
答案：
过点N作$NM⊥ AB$于点M，设一次函数$y=-x+b$的图象与x轴交于点G，与y轴交于点K，连接$O'K$和$O'G$，如图。
∵$O'$，N都在$∠ ABO$的平分线上，
∴$ON=MN$，$∠ OBN=∠ MBN$。
∵$∠ NOB=∠ NMB=90°$，
∴$△ OBN≌△ MBN(\mathrm{AAS})$，
∴$BM=BO=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×4× ON+\frac{1}{2}×5× NM$，
∴$NM=ON=\frac{4}{3}$。
∵一次函数$y=-x+b$，
∴$OG=OK$，$∠ OKG=∠ OGK=45°$。
∵点O关于直线l的对称点为点$O'$，
∴$O'K=OK$，$OG=O'G$，$∠ O'KG=∠ OKG=45°$，$∠ O'GK=∠ OGK=45°$，
∴$O'K=O'G$，$∠ O'KO=∠ O'GO=90°$，即$O'K⊥ OK$，$O'G⊥ OG$。
∵$S_{OBN}=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×4× O'G+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}× O'K$，
→等面积法
∴$OK=O'K=1$。故$b$的值为1。
过点N作$NM⊥ AB$于点M，设一次函数$y=-x+b$的图象与x轴交于点G，与y轴交于点K，连接$O'K$和$O'G$，如图。
∵$O'$，N都在$∠ ABO$的平分线上，
∴$ON=MN$，$∠ OBN=∠ MBN$。
∵$∠ NOB=∠ NMB=90°$，
∴$△ OBN≌△ MBN(\mathrm{AAS})$，
∴$BM=BO=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×4× ON+\frac{1}{2}×5× NM$，
∴$NM=ON=\frac{4}{3}$。
∵一次函数$y=-x+b$，
∴$OG=OK$，$∠ OKG=∠ OGK=45°$。
∵点O关于直线l的对称点为点$O'$，
∴$O'K=OK$，$OG=O'G$，$∠ O'KG=∠ OKG=45°$，$∠ O'GK=∠ OGK=45°$，
∴$O'K=O'G$，$∠ O'KO=∠ O'GO=90°$，即$O'K⊥ OK$，$O'G⊥ OG$。
∵$S_{OBN}=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×4× O'G+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}× O'K$，
→等面积法
∴$OK=O'K=1$。故$b$的值为1。
4. 如图,把$Rt△ ABC$放在平面直角坐标系内,其中$∠ CAB=90°$,$BC=10$,点$A,B$的坐标分别为$(2,0)$,$(8,0)$,将$△ ABC$沿$x$轴向右平移,当点$C$落在直线$y=x-5$上时,线段$BC$扫过的面积为(
A.80
B.88
C.96
D.100
B
).A.80
B.88
C.96
D.100
答案：
∵点A，B的坐标分别为$(2,0)$，$(8,0)$，
∴$AB=6$。
∵$∠ CAB=90°$，$BC=10$，
∴$CA=8$。
∴点C的纵坐标为8。
∵将$△ ABC$沿x轴向右平移，当点C落在直线$y=x-5$上时，将$y=8$代入，解得$x=13$，即点C向右平移了$13-2=11$(个)单位长度，
∴线段BC扫过的面积为$11×8=88$。故选B。
∵点A，B的坐标分别为$(2,0)$，$(8,0)$，
∴$AB=6$。
∵$∠ CAB=90°$，$BC=10$，
∴$CA=8$。
∴点C的纵坐标为8。
∵将$△ ABC$沿x轴向右平移，当点C落在直线$y=x-5$上时，将$y=8$代入，解得$x=13$，即点C向右平移了$13-2=11$(个)单位长度，
∴线段BC扫过的面积为$11×8=88$。故选B。
5. 数形结合思想，如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于点B(0,8)，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰直角三角形BDE，连接EA。
(1)求证：$∠ EAD = ∠ OAB$；
(2)求直线EA与y轴交点F的坐标。
(1)求证：$∠ EAD = ∠ OAB$；
(2)求直线EA与y轴交点F的坐标。
答案：
(1)如图(1)，过点E作$EG⊥ x$轴于点G。
→构建一线三垂直模型
∵$△ BDE$是等腰直角三角形，
∴$∠ EGD=∠ DOB=∠ EDB=90°$，$ED=DB$，
∴$∠1+∠2=90°$，$∠2+∠3=90°$，
∴$∠1=∠3$。
在$△ EGD$和$△ DOB$中，$\begin{cases}∠ EGD=∠ DOB,\\∠1=∠3,\\ED=DB,\end{cases}$
∴$△ EGD≌△ DOB(\mathrm{AAS})$，
∴$EG=DO$，$GD=OB$。
∵$A(8,0)$，$B(0,8)$，
∴$OB=OA=8$，
∴$∠ OAB=45°$，$GD=OA$，
∴$DO=DA+OA=DA+DG=AG$，
∴$EG=AG$，
∴$∠ EAG=∠ GEA=45°$，
∴$∠ EAD=∠ OAB$。
(2)如图(2)，延长EA交y轴于点F。
∵$∠ EAD=45°$，
∴$∠ OAF=45°$，
∴$OA=OF=8$，
∴点F的坐标为$(0,-8)$。
归纳总结 本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形。
(1)如图(1)，过点E作$EG⊥ x$轴于点G。
→构建一线三垂直模型
∵$△ BDE$是等腰直角三角形，
∴$∠ EGD=∠ DOB=∠ EDB=90°$，$ED=DB$，
∴$∠1+∠2=90°$，$∠2+∠3=90°$，
∴$∠1=∠3$。
在$△ EGD$和$△ DOB$中，$\begin{cases}∠ EGD=∠ DOB,\\∠1=∠3,\\ED=DB,\end{cases}$
∴$△ EGD≌△ DOB(\mathrm{AAS})$，
∴$EG=DO$，$GD=OB$。
∵$A(8,0)$，$B(0,8)$，
∴$OB=OA=8$，
∴$∠ OAB=45°$，$GD=OA$，
∴$DO=DA+OA=DA+DG=AG$，
∴$EG=AG$，
∴$∠ EAG=∠ GEA=45°$，
∴$∠ EAD=∠ OAB$。
(2)如图(2)，延长EA交y轴于点F。
∵$∠ EAD=45°$，
∴$∠ OAF=45°$，
∴$OA=OF=8$，
∴点F的坐标为$(0,-8)$。
归纳总结 本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形。