6. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y=kx+b(k≠0) $ 与直线 $ l_2: y=x $ 交于点 $ A(2,a) $,与y轴交于点 $ B(0,6) $,与x轴交于点C.
(1)求直线 $ l_1 $ 的函数表达式;
(2)在平面直角坐标系中有一点 $ P(5,m) $,使得 $ S_{△ AOP}=S_{△ AOC} $,请求出点P的坐标;
(3)M为直线 $ l_1 $ 上的动点,过点M作y轴的平行线,交 $ l_2 $ 于点N,Q为y轴上的一个动点,且 $ △ MNQ $ 为等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点M的坐标.
备用图
(1)求直线 $ l_1 $ 的函数表达式;
(2)在平面直角坐标系中有一点 $ P(5,m) $,使得 $ S_{△ AOP}=S_{△ AOC} $,请求出点P的坐标;
(3)M为直线 $ l_1 $ 上的动点,过点M作y轴的平行线,交 $ l_2 $ 于点N,Q为y轴上的一个动点,且 $ △ MNQ $ 为等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点M的坐标.
备用图
答案：
(1)
∵点$A(2,a)$在直线$l_2:y=x$上，
∴$a=2$，即点A的坐标为$(2,2)$。
∵直线$l_1:y=kx+b(k≠0)$过点$A(2,2)$，$B(0,6)$，
∴$\begin{cases}2k+b=2,\\b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=6,\end{cases}$
∴直线$l_1$的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2)
∵$S_{△ AOP}=S_{△ AOC}$，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴设过点P且与直线AO平行的直线$l_3$为$y=x+d$。
当$y=0$时，$0=-2x+6$，
∴点C的坐标为$(3,0)$。
①当直线$l_3$过点$C(3,0)$时，得直线$l_3$的函数表达式为$y=x-3$，
当$x=5$时，$m=5-3=2$，
∴点P的坐标为$(5,2)$。
②点$C(3,0)$关于直线OA的对称点为$(0,3)$，
当直线$l_3$过点$(0,3)$时，得$l_3$为$y=x+3$，
当$x=5$时，$m=5+3=8$，
∴点P的坐标为$(5,8)$。
综上所述，点P的坐标为$(5,2)$或$(5,8)$。
(3)设$M(t,-2t+6)$，则$N(t,t)$，
∴$MN=|-2t+6-t|=|3t-6|$。
①如图(1)，若$∠ MQN=90°$，$MQ=NQ$，则$MN=2|x_M|=2|t|$，
∴$|3t-6|=2|t|$，
∴$t=\frac{6}{5}$或$t=6$，
∴点M的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,-6)$。
②如图(2)，若$∠ QMN=90°$或$∠ QNM=90°$(此种情况图略)，则$MN=|x_M|=|t|$，
∴$|3t-6|=|t|$，
∴$t=\frac{3}{2}$或$t=3$，
∴点M的坐标为$(\frac{3}{2},3)$或$(3,0)$。
综上所述，点M的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,-6)$或$(\frac{3}{2},3)$或$(3,0)$。
(1)
∵点$A(2,a)$在直线$l_2:y=x$上，
∴$a=2$，即点A的坐标为$(2,2)$。
∵直线$l_1:y=kx+b(k≠0)$过点$A(2,2)$，$B(0,6)$，
∴$\begin{cases}2k+b=2,\\b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=6,\end{cases}$
∴直线$l_1$的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2)
∵$S_{△ AOP}=S_{△ AOC}$，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴设过点P且与直线AO平行的直线$l_3$为$y=x+d$。
当$y=0$时，$0=-2x+6$，
∴点C的坐标为$(3,0)$。
①当直线$l_3$过点$C(3,0)$时，得直线$l_3$的函数表达式为$y=x-3$，
当$x=5$时，$m=5-3=2$，
∴点P的坐标为$(5,2)$。
②点$C(3,0)$关于直线OA的对称点为$(0,3)$，
当直线$l_3$过点$(0,3)$时，得$l_3$为$y=x+3$，
当$x=5$时，$m=5+3=8$，
∴点P的坐标为$(5,8)$。
综上所述，点P的坐标为$(5,2)$或$(5,8)$。
(3)设$M(t,-2t+6)$，则$N(t,t)$，
∴$MN=|-2t+6-t|=|3t-6|$。
①如图(1)，若$∠ MQN=90°$，$MQ=NQ$，则$MN=2|x_M|=2|t|$，
∴$|3t-6|=2|t|$，
∴$t=\frac{6}{5}$或$t=6$，
∴点M的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,-6)$。
②如图(2)，若$∠ QMN=90°$或$∠ QNM=90°$(此种情况图略)，则$MN=|x_M|=|t|$，
∴$|3t-6|=|t|$，
∴$t=\frac{3}{2}$或$t=3$，
∴点M的坐标为$(\frac{3}{2},3)$或$(3,0)$。
综上所述，点M的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,-6)$或$(\frac{3}{2},3)$或$(3,0)$。
7. (2026·苏州期末)如图，$A(m,0), B(n,0)$，且$m,n$满足$(m+2)^2 + |n-2|=0$，直线AC恰好是一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象，$CB ⊥ x$轴于点B.
(1)求点C的坐标，并求$△ ABC$的周长.
(2)在y轴上是否存在点P，使得$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}$？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求点C的坐标，并求$△ ABC$的周长.
(2)在y轴上是否存在点P，使得$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}$？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)
∵$(m+2)^2+|n-2|=0$，
∴$m+2=0$，$n-2=0$，
∴$m=-2$，$n=2$，
∴$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
∵$CB⊥ x$轴于点B，点C在$y=\frac{1}{2}x+1$的图象上，
∴设点C的坐标为$(2,t)$，
∴$t=\frac{1}{2}×2+1=2$，
∴点C的坐标为$(2,2)$，
∴$BC=2$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{20}$。
∴$△ ABC$的周长为$4+2+\sqrt{20}=6+\sqrt{20}$。
(2)存在。理由如下：
∵直线AC的表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$，
∴设AC交y轴于点E，则$E(0,1)$。
设点$P(0,p)$，
∴$PE=|p-1|$，
∴$S_{△ APC}=S_{△ APE}+S_{△ CPE}=\frac{1}{2}PE(x_C-x_A)=\frac{1}{2}|p-1|×4=2|p-1|$。
由(1)知，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}$，
∴$4=2|p-1|$，
∴$p=3$或$p=-1$，
∴点P的坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
∵$(m+2)^2+|n-2|=0$，
∴$m+2=0$，$n-2=0$，
∴$m=-2$，$n=2$，
∴$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
∵$CB⊥ x$轴于点B，点C在$y=\frac{1}{2}x+1$的图象上，
∴设点C的坐标为$(2,t)$，
∴$t=\frac{1}{2}×2+1=2$，
∴点C的坐标为$(2,2)$，
∴$BC=2$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{20}$。
∴$△ ABC$的周长为$4+2+\sqrt{20}=6+\sqrt{20}$。
(2)存在。理由如下：
∵直线AC的表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$，
∴设AC交y轴于点E，则$E(0,1)$。
设点$P(0,p)$，
∴$PE=|p-1|$，
∴$S_{△ APC}=S_{△ APE}+S_{△ CPE}=\frac{1}{2}PE(x_C-x_A)=\frac{1}{2}|p-1|×4=2|p-1|$。
由(1)知，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACP}$，
∴$4=2|p-1|$，
∴$p=3$或$p=-1$，
∴点P的坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
8. 如图，直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y=\frac{4}{3}x + 4 $，与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $；直线 $ l_2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C(2,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ D(0,\frac{3}{2}) $，两直线相交于点 $ P(-\frac{6}{5},\frac{12}{5}) $。
(1) 求点 $ A,B $ 的坐标及直线 $ l_2 $ 的函数表达式；
(2) 求证：$ △ AOB ≌ △ APC $；
(3) 若将直线 $ l_2 $ 向右平移 $ m $ 个单位长度，与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C',D' $，使得以 $ A,B,C',D' $ 为顶点的图形是轴对称图形，求 $ m $ 的值。
(1) 求点 $ A,B $ 的坐标及直线 $ l_2 $ 的函数表达式；
(2) 求证：$ △ AOB ≌ △ APC $；
(3) 若将直线 $ l_2 $ 向右平移 $ m $ 个单位长度，与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C',D' $，使得以 $ A,B,C',D' $ 为顶点的图形是轴对称图形，求 $ m $ 的值。
答案：
(1)当$x=0$时，$y=\frac{4}{3}x+4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
当$y=0$时，有$\frac{4}{3}x+4=0$，解得$x=-3$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(2,0)$，$D(0,\frac{3}{2})$代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}2k+b=0,\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$。
(2)
∵$A(-3,0)$，$C(2,0)$，$B(0,4)$，$P(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$，
∴$AO=3$，$AC=5$，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$AP=\sqrt{[-\frac{6}{5}-(-3)]^2+(\frac{12}{5}-0)^2}=3$，
∴$AO=AP$，$AB=AC$。
在$△ AOB$和$△ APC$中，$\begin{cases}AO=AP,\\∠ BAO=∠ CAP,\\AB=AC,\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ APC(\mathrm{SAS})$。
(3)①如图(1)，当点B在点$D'$下方时，连接$BC'$。
∵平移后直线$C'D'$的表达式为$y=-\frac{3}{4}(x-m)+\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$，
∴点$C'$的坐标为$(m+2,0)$，点$D'$的坐标为$(0,\frac{3}{4}m+\frac{3}{2})$。
由题意，可得以A，B，$C'$，$D'$为顶点的图形是轴对称图形，当$△ ABC'≌△ D'BC'$时，有$AB=D'B$，$AC'=D'C'$。
∵$A(-3,0)$，$B(0,4)$，
∴$D'B=\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}-4=\frac{3}{4}m-\frac{5}{2}$，
$AC'=m+2-(-3)=m+5$，
$D'C'=\sqrt{(m+2)^2+(\frac{3}{4}m+\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{4}(m+2)$，
∴$\begin{cases}\frac{3}{4}m-\frac{5}{2}=5,\\m+5=\frac{5}{4}(m+2),\end{cases}$解得$m=10$。
②如图(2)，当点B在点$D'$上方时，连接$BC'$，$AD'$。
若$△ AC'D'≌△ BC'D'$，则$AC'=BC'$，
由①，可得$BC'=\sqrt{(m+2)^2+4^2}$，$AC'=m+5$，
∴$m+5=\sqrt{(m+2)^2+4^2}$，解得$m=-\frac{5}{6}$(不合题意，舍去)；
若$△ ABD'≌△ C'BD'$，则$AB=C'B$，
∴$OA=OC'$，即$3=m+2$，解得$m=1$。故以A，B，$C'$，$D'$为顶点的图形是轴对称图形时，$m$的值为10或1。
(1)当$x=0$时，$y=\frac{4}{3}x+4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
当$y=0$时，有$\frac{4}{3}x+4=0$，解得$x=-3$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(2,0)$，$D(0,\frac{3}{2})$代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}2k+b=0,\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$。
(2)
∵$A(-3,0)$，$C(2,0)$，$B(0,4)$，$P(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$，
∴$AO=3$，$AC=5$，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$AP=\sqrt{[-\frac{6}{5}-(-3)]^2+(\frac{12}{5}-0)^2}=3$，
∴$AO=AP$，$AB=AC$。
在$△ AOB$和$△ APC$中，$\begin{cases}AO=AP,\\∠ BAO=∠ CAP,\\AB=AC,\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ APC(\mathrm{SAS})$。
(3)①如图(1)，当点B在点$D'$下方时，连接$BC'$。
∵平移后直线$C'D'$的表达式为$y=-\frac{3}{4}(x-m)+\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$，
∴点$C'$的坐标为$(m+2,0)$，点$D'$的坐标为$(0,\frac{3}{4}m+\frac{3}{2})$。
由题意，可得以A，B，$C'$，$D'$为顶点的图形是轴对称图形，当$△ ABC'≌△ D'BC'$时，有$AB=D'B$，$AC'=D'C'$。
∵$A(-3,0)$，$B(0,4)$，
∴$D'B=\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}-4=\frac{3}{4}m-\frac{5}{2}$，
$AC'=m+2-(-3)=m+5$，
$D'C'=\sqrt{(m+2)^2+(\frac{3}{4}m+\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{4}(m+2)$，
∴$\begin{cases}\frac{3}{4}m-\frac{5}{2}=5,\\m+5=\frac{5}{4}(m+2),\end{cases}$解得$m=10$。
②如图(2)，当点B在点$D'$上方时，连接$BC'$，$AD'$。
若$△ AC'D'≌△ BC'D'$，则$AC'=BC'$，
由①，可得$BC'=\sqrt{(m+2)^2+4^2}$，$AC'=m+5$，
∴$m+5=\sqrt{(m+2)^2+4^2}$，解得$m=-\frac{5}{6}$(不合题意，舍去)；
若$△ ABD'≌△ C'BD'$，则$AB=C'B$，
∴$OA=OC'$，即$3=m+2$，解得$m=1$。故以A，B，$C'$，$D'$为顶点的图形是轴对称图形时，$m$的值为10或1。