10. A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表:
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求$a,b$的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量$x$(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3}$,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为$y$元,求$y$的最大值.
(注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差)
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求$a,b$的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量$x$(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3}$,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为$y$元,求$y$的最大值.
(注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差)
答案：(1)根据题意,得$\begin{cases}8a+7b=670,\\4a+5b=410,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=40,\\b=50,\end{cases}$
∴$a$ 的值是40,$b$ 的值是50.
(2)由题意知,购买B种型号吉祥物的数量为$(90-x)$个.
根据题意,得$\begin{cases}x≥ \dfrac{4}{3}(90-x),\\x≤ 2(90-x),\end{cases}$ 解得$\dfrac{360}{7}≤ x≤ 60$.
$y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720$.
∵$-3＜0$,
∴$y$ 随 $x$ 的减小而增大.
∵$\dfrac{360}{7}≤ x≤ 60$ 且$x$ 为整数,
∴当 $x=52$ 时,$y$ 的值最大,$y_{\mathrm{最大}}=-3×52+720=564$,
∴$y$ 的最大值是564.
∴$a$ 的值是40,$b$ 的值是50.
(2)由题意知,购买B种型号吉祥物的数量为$(90-x)$个.
根据题意,得$\begin{cases}x≥ \dfrac{4}{3}(90-x),\\x≤ 2(90-x),\end{cases}$ 解得$\dfrac{360}{7}≤ x≤ 60$.
$y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720$.
∵$-3＜0$,
∴$y$ 随 $x$ 的减小而增大.
∵$\dfrac{360}{7}≤ x≤ 60$ 且$x$ 为整数,
∴当 $x=52$ 时,$y$ 的值最大,$y_{\mathrm{最大}}=-3×52+720=564$,
∴$y$ 的最大值是564.
11. 跨学科 研究电量与时间的关系 (2024·西宁中考)西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量$y$(单位:$\mathrm{kW·h}$)与充电时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数图象，其中折线$ABC$表示用快速充电器充电时$y_1$与$x$的函数关系；线段$AD$表示用普通充电器充电时$y_2$与$x$的函数关系.根据相关信息，回答下列问题：
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从$10\ \mathrm{kW·h}$充到$70\ \mathrm{kW·h}$需
(2)求$y_2$关于$x$的函数表达式，并直接写出自变量$x$的取值范围；
(3)该品牌汽车电池电量从$10\ \mathrm{kW·h}$充到$100\ \mathrm{kW·h}$，快速充电器比普通充电器少用
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从$10\ \mathrm{kW·h}$充到$70\ \mathrm{kW·h}$需
$\dfrac{1}{3}$
$\mathrm{h}$；(2)求$y_2$关于$x$的函数表达式，并直接写出自变量$x$的取值范围；
(3)该品牌汽车电池电量从$10\ \mathrm{kW·h}$充到$100\ \mathrm{kW·h}$，快速充电器比普通充电器少用
$\dfrac{7}{3}$
$\mathrm{h}$.答案：(1)$\dfrac{1}{3}$
(2)设 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=kx+b(k≠ 0)$,
将点 $A(0,10)$,$E(2,70)$代入表达式中,
得$\begin{cases}b=10,\\2k+b=70,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=30,\\b=10,\end{cases}$
∴$y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=30x+10(0≤ x≤ 3)$.
(3)$\dfrac{7}{3}$ [解析]把 $y_2=100$ 代入 $y_2=30x+10$,得 $30x+10=100$,解得 $x=3$,
∴$3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}(\mathrm{h})$.
(2)设 $y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=kx+b(k≠ 0)$,
将点 $A(0,10)$,$E(2,70)$代入表达式中,
得$\begin{cases}b=10,\\2k+b=70,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=30,\\b=10,\end{cases}$
∴$y_2$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_2=30x+10(0≤ x≤ 3)$.
(3)$\dfrac{7}{3}$ [解析]把 $y_2=100$ 代入 $y_2=30x+10$,得 $30x+10=100$,解得 $x=3$,
∴$3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}(\mathrm{h})$.