8. 新考法 新定义问题 若定义一种新运算：
$a\otimes b=\begin{cases}a-b&(a≥2b),\\a+b-6&(a＜2b).\end{cases}$
例如：$3\otimes1=3-1=2$；$5\otimes4=5+4-6=3$，则函数$y=(x+2)\otimes(x-1)$的图象大致是(
$a\otimes b=\begin{cases}a-b&(a≥2b),\\a+b-6&(a＜2b).\end{cases}$
例如：$3\otimes1=3-1=2$；$5\otimes4=5+4-6=3$，则函数$y=(x+2)\otimes(x-1)$的图象大致是(
A
).答案：8. A [解析]
∵当$x+2≥ 2(x-1)$时,$x≤ 4$,
∴当$x≤ 4$时,$(x+2)\otimes(x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3$,即$y=3$,函数图象为一条平行于x轴的直线;当$x＞4$时,$(x+2)\otimes(x-1)=(x+2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5$,即$y=2x-5$.又$k=2＞0$,
∴当$x＞4$时,$y=2x-5$,函数图象从左向右逐渐上升,y随x的增大而增大.综上所述,A选项符合题意.故选A.
思路引导 解答本题时需要先根据新定义求出函数图象的自变量的取值范围,然后根据新定义分别求出不同自变量取值范围内的函数表达式,再根据函数的表达式即可得到函数的图象.
∵当$x+2≥ 2(x-1)$时,$x≤ 4$,
∴当$x≤ 4$时,$(x+2)\otimes(x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3$,即$y=3$,函数图象为一条平行于x轴的直线;当$x＞4$时,$(x+2)\otimes(x-1)=(x+2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5$,即$y=2x-5$.又$k=2＞0$,
∴当$x＞4$时,$y=2x-5$,函数图象从左向右逐渐上升,y随x的增大而增大.综上所述,A选项符合题意.故选A.
思路引导 解答本题时需要先根据新定义求出函数图象的自变量的取值范围,然后根据新定义分别求出不同自变量取值范围内的函数表达式,再根据函数的表达式即可得到函数的图象.
9. (2025·镇江丹阳期末)已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$A(0,-3)$，且与正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象相交于点$B(2,m)$.求：
(1)$m$的值；
(2)$k,b$的值；
(3)$△ AOB$的面积.
(1)$m$的值；
(2)$k,b$的值；
(3)$△ AOB$的面积.
答案：9. (1)
∵点$B(2,m)$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上,
∴$m=\frac{1}{2}× 2=1$.
(2)
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$A(0,-3),B(2,1)$,
∴$\begin{cases}b=-3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-3,\end{cases}$
∴$k=2,b=-3$.
(3)$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× 3× 2=3$.
∵点$B(2,m)$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上,
∴$m=\frac{1}{2}× 2=1$.
(2)
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$A(0,-3),B(2,1)$,
∴$\begin{cases}b=-3,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-3,\end{cases}$
∴$k=2,b=-3$.
(3)$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× 3× 2=3$.