9. (2025·扬州邗江区梅苑双语学校期中)如图,过点$A(-2,0)$的直线$l_1:y=kx+b$与直线$l_2:y=-x+1$相交于$P(-1,a)$.
(1)求直线$l_1$对应的表达式;
(2)直接写出方程组$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-x+1\end{cases}$的解;
(3)求四边形$PAOC$的面积.
(1)求直线$l_1$对应的表达式;
(2)直接写出方程组$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-x+1\end{cases}$的解;
(3)求四边形$PAOC$的面积.
答案：9. (1)把 $P(-1,a)$ 代入 $y=-x+1$,得 $a=2$,
则点 $P$ 的坐标为 $(-1,2)$.
把点 $A(-2,0)$,$P(-1,2)$ 代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases} -2k+b=0, \\ -k+b=2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=2, \\ b=4, \end{cases}$$\therefore$ 直线 $l_1$ 的表达式为 $y=2x+4$.
(2)$\because$ 直线 $l_1$:$y=kx+b(k ≠ 0)$ 与直线 $l_2$:$y=-x+1$ 相交于点 $P(-1,2)$,
$\therefore$ 方程组 $\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-x+1 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)$\because$ 直线 $l_2$:$y=-x+1$ 交 $x$ 轴于点 $B$,交 $y$ 轴于点 $C$,
$\therefore B(1,0)$,$C(0,1)$,$\therefore$ 四边形 $PAOC$ 的面积 $=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × 3 × 2-\dfrac{1}{2} × 1 × 1=\dfrac{5}{2}$.
则点 $P$ 的坐标为 $(-1,2)$.
把点 $A(-2,0)$,$P(-1,2)$ 代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases} -2k+b=0, \\ -k+b=2, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=2, \\ b=4, \end{cases}$$\therefore$ 直线 $l_1$ 的表达式为 $y=2x+4$.
(2)$\because$ 直线 $l_1$:$y=kx+b(k ≠ 0)$ 与直线 $l_2$:$y=-x+1$ 相交于点 $P(-1,2)$,
$\therefore$ 方程组 $\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-x+1 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)$\because$ 直线 $l_2$:$y=-x+1$ 交 $x$ 轴于点 $B$,交 $y$ 轴于点 $C$,
$\therefore B(1,0)$,$C(0,1)$,$\therefore$ 四边形 $PAOC$ 的面积 $=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × 3 × 2-\dfrac{1}{2} × 1 × 1=\dfrac{5}{2}$.
10. 分类讨论思想(2026·山西晋中昔阳期末)如图，直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=-x+4$相交于点$P(1,b)$，直线$l_1$与$l_2$与$x$轴分别交于$A,B$两点.
(1)求$b$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -1,\\-x - y = -4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为4，求出$a$的值.
(1)求$b$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -1,\\-x - y = -4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为4，求出$a$的值.
答案：10. (1)由题意,可得 $b=2 × 1+1=3$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(1,3)$,
$\therefore$ 方程组 $\begin{cases} 2x-y=-1, \\ -x-y=-4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)对于直线 $l_1$:$y=2x+1$,令 $y=0$,则 $2x+1=0$,
解得 $x=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},0)$.
对于直线 $l_2$:$y=-x+4$,令 $y=0$,则 $-x+4=0$,
解得 $x=4$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$,
$\therefore AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB · y_P=\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × 3=\dfrac{27}{4}$.
(3)$\because CD=4$,
$\therefore |2a+1-(-a+4)|=4$,
即 $|3a-3|=4$,解得 $a=\dfrac{7}{3}$ 或 $-\dfrac{1}{3}$.
$\therefore$ 方程组 $\begin{cases} 2x-y=-1, \\ -x-y=-4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)对于直线 $l_1$:$y=2x+1$,令 $y=0$,则 $2x+1=0$,
解得 $x=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2},0)$.
对于直线 $l_2$:$y=-x+4$,令 $y=0$,则 $-x+4=0$,
解得 $x=4$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$,
$\therefore AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB · y_P=\dfrac{1}{2} × \dfrac{9}{2} × 3=\dfrac{27}{4}$.
(3)$\because CD=4$,
$\therefore |2a+1-(-a+4)|=4$,
即 $|3a-3|=4$,解得 $a=\dfrac{7}{3}$ 或 $-\dfrac{1}{3}$.