1. (2024·甘南州中考)某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣.已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元,购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元.
(1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元?
(2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,请问如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元?
(1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元?
(2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,请问如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元?
答案：(1)设每个A型钥匙扣的进价为x元,B型钥匙扣的进价为y元,根据题意,得$\begin{cases}50x+30y=870,\\30x+50y=810,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=12,\\y=9.\end{cases}$
故每个A型钥匙扣的进价为12元,B型钥匙扣的进价为9元.
(2)设购进A型钥匙扣a个,则B型钥匙扣(100−a)个,利润为W元,根据题意,得$W=(20-12)a+(15-9)(100-a)=2a+600.$
$\because 12a+9(100-a)≤ 1\ 000,\therefore a≤ 33\dfrac{1}{3}$,且a为非负整数.
$\because 2＞0$,$\therefore W$随着a的增大而增大,
$\therefore$当$a=33$时,W最大,最大值为$2× 33+600=666$,
$\therefore$该经销商应购进A型钥匙扣33个,B型钥匙扣67个,可获得最大利润,最大利润为666元.
故每个A型钥匙扣的进价为12元,B型钥匙扣的进价为9元.
(2)设购进A型钥匙扣a个,则B型钥匙扣(100−a)个,利润为W元,根据题意,得$W=(20-12)a+(15-9)(100-a)=2a+600.$
$\because 12a+9(100-a)≤ 1\ 000,\therefore a≤ 33\dfrac{1}{3}$,且a为非负整数.
$\because 2＞0$,$\therefore W$随着a的增大而增大,
$\therefore$当$a=33$时,W最大,最大值为$2× 33+600=666$,
$\therefore$该经销商应购进A型钥匙扣33个,B型钥匙扣67个,可获得最大利润,最大利润为666元.
2.某商店计划购进甲、乙两种商品.若购进20个甲种商品和10个乙种商品,共需要资金2800元;若购进15个甲种商品和20个乙种商品,共需要资金3600元.
(1)求甲、乙两种商品的进货单价分别为多少元?
(2)某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个,且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍.商店给予该单位一定的价格优惠,优惠措施如表所示:
设该单位购进甲种商品x个,商店共获利w元.
①若$m=15$,请求出此时$w$与$x$之间的函数表达式,并求出商店能获得的最大利润.
②商店业务员小王发现,在这笔交易中,无论单位采取何种购买方案,商店获得的利润始终保持不变,求$m$的值.
(1)求甲、乙两种商品的进货单价分别为多少元?
(2)某单位计划到该商店购进甲、乙两种商品共200个,且购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍.商店给予该单位一定的价格优惠,优惠措施如表所示:
设该单位购进甲种商品x个,商店共获利w元.
①若$m=15$,请求出此时$w$与$x$之间的函数表达式,并求出商店能获得的最大利润.
②商店业务员小王发现,在这笔交易中,无论单位采取何种购买方案,商店获得的利润始终保持不变,求$m$的值.
答案：(1)设甲种商品的进货单价为m元,乙种商品的进货单价为n元,
$\begin{cases}20m+10n=2\ 800,\\15m+20n=3\ 600,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=80,\\n=120.\end{cases}$
故甲种商品的进货单价为80元,乙种商品的进货单价为120元.
(2)①$w=(100× 0.9-80)x+(150-15-120)(200-x)=-5x+3\ 000.$
$\because$甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍,
$\therefore x≥ 2(200-x)$,解得$x≥ 133\dfrac{1}{3}.$
$\because -5＜0$,$\therefore w$随x的增大而减小,
$\therefore x=134$时,w最大,$w_{\mathrm{最大}}=-5× 134+3\ 000=2\ 330.$
故w与x之间的函数表达式为$w=-5x+3\ 000$,商店能获得的最大利润为2 330元.
②$w=(100× 0.9-80)x+(150-m-120)(200-x)=10x-30x+mx+6\ 000-200m=(m-20)x+6\ 000-200m.$
$\because$与x无关,$\therefore m-20=0$,$\therefore m=20.$
$\begin{cases}20m+10n=2\ 800,\\15m+20n=3\ 600,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=80,\\n=120.\end{cases}$
故甲种商品的进货单价为80元,乙种商品的进货单价为120元.
(2)①$w=(100× 0.9-80)x+(150-15-120)(200-x)=-5x+3\ 000.$
$\because$甲种商品的数量不少于乙种商品数量的2倍,
$\therefore x≥ 2(200-x)$,解得$x≥ 133\dfrac{1}{3}.$
$\because -5＜0$,$\therefore w$随x的增大而减小,
$\therefore x=134$时,w最大,$w_{\mathrm{最大}}=-5× 134+3\ 000=2\ 330.$
故w与x之间的函数表达式为$w=-5x+3\ 000$,商店能获得的最大利润为2 330元.
②$w=(100× 0.9-80)x+(150-m-120)(200-x)=10x-30x+mx+6\ 000-200m=(m-20)x+6\ 000-200m.$
$\because$与x无关,$\therefore m-20=0$,$\therefore m=20.$
3. (2025·无锡宜兴期末)某企业生产A，B两种型号的设备共500台，销往甲、乙两个地区，在两地销售可获得的利润情况如表：
| | A型设备/(万元/台) | B型设备/(万元/台) |
| --- | --- | --- |
| 甲地区销售可获得的利润 |
| 1.3 |
| 乙地区销售可获得的利润 | 1.6 | 1.2 |
该企业如果将生产的A，B两种型号的设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元.
(1)求A，B两种型号设备各生产了多少台？
(2)若销往甲地区x台A型设备，余下的所有设备销往乙地区，写出销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式，并求利润的最大值.
| | A型设备/(万元/台) | B型设备/(万元/台) |
| --- | --- | --- |
| 甲地区销售可获得的利润 |
| 1.3 || 乙地区销售可获得的利润 | 1.6 | 1.2 |
该企业如果将生产的A，B两种型号的设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元.
(1)求A，B两种型号设备各生产了多少台？
(2)若销往甲地区x台A型设备，余下的所有设备销往乙地区，写出销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式，并求利润的最大值.
答案：(1)设A种型号设备生产了a台,B种型号设备生产了b台.
由题意,得$\begin{cases}a+b=500,\\1.8a+1.3b=750,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=200,\\b=300.\end{cases}$
故A种型号设备生产了200台,B种型号设备生产了300台.
(2)由题意,得$y=1.8x+1.6(200-x)+300× 1.2$,
即$y=0.2x+680(0＜ x≤ 200).\because 0.2＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大,$\therefore$当$x=200$时,利润的最大值为$0.2× 200+680=720$(万元).
故销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式为$y=0.2x+680(0＜ x≤ 200)$,利润的最大值为720万元.
由题意,得$\begin{cases}a+b=500,\\1.8a+1.3b=750,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=200,\\b=300.\end{cases}$
故A种型号设备生产了200台,B种型号设备生产了300台.
(2)由题意,得$y=1.8x+1.6(200-x)+300× 1.2$,
即$y=0.2x+680(0＜ x≤ 200).\because 0.2＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大,$\therefore$当$x=200$时,利润的最大值为$0.2× 200+680=720$(万元).
故销售这500台设备可获得的利润y(万元)与x之间的函数表达式为$y=0.2x+680(0＜ x≤ 200)$,利润的最大值为720万元.