9. (2026·湖南娄底娄星区期末改编)如图,在△ABC和△DEF中,点B,C,E,F在同一条直线上,已知AB=DE,AB//DE,∠A=∠D.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若BE=6,EC=5,求BF的长.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若BE=6,EC=5,求BF的长.
答案：9.(1)
∵点 B,C,E,F 在同一条直线上,AB//DE,
∴∠B=∠DEF(两直线平行,同位角相等),
在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases}∠A=∠D,\\AB=DE,\\∠B=∠DEF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BC-EC=EF-EC,
即 BE=CF=6,
∴BF=BE+EC+CF=6+5+6=17.
∵点 B,C,E,F 在同一条直线上,AB//DE,
∴∠B=∠DEF(两直线平行,同位角相等),
在△ABC 和△DEF 中,$\begin{cases}∠A=∠D,\\AB=DE,\\∠B=∠DEF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BC-EC=EF-EC,
即 BE=CF=6,
∴BF=BE+EC+CF=6+5+6=17.
10. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且$BE// CF$.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDF$;
(2)若$AE=15,AF=6$,试求DE的长.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDF$;
(2)若$AE=15,AF=6$,试求DE的长.
答案：10.(1)
∵AD 是边 BC 上的中线,
∴BD=CD.
∵BE//CF,
∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases}∠DBE=∠DCF,\\BD=CD,\\∠BDE=∠CDF,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)
∵AE=15,AF=6,
∴EF=AE-AF=15-6=9.
∵△BDE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵DE+DF=EF=9,
∴DE=$\frac{9}{2}$.
∵AD 是边 BC 上的中线,
∴BD=CD.
∵BE//CF,
∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases}∠DBE=∠DCF,\\BD=CD,\\∠BDE=∠CDF,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)
∵AE=15,AF=6,
∴EF=AE-AF=15-6=9.
∵△BDE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵DE+DF=EF=9,
∴DE=$\frac{9}{2}$.
11. 新考法 探究动点问题 如图，AE，BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=4 cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3 cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度匀速运动。P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动。设点P的运动时间为t(s)。
(1)当$t=1$时，$AP=$
当$t=2$时，$AP=$
(2)求证：$AB// DE$。
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为
(1)当$t=1$时，$AP=$
3
cm；当$t=2$时，$AP=$
2
cm；(2)求证：$AB// DE$。
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，DQ的长为
1或2
cm。答案：
11.(1)3 2
[解析]当 t=1 时,AP=3 cm;当 t=2 时,AP=4-(6-4)=2(cm).
(2)在△ABC 和△EDC 中,$\begin{cases}AC=EC,\\∠ACB=∠ECD,\\BC=DC,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴∠A=∠E,
∴AB//DE.
(3)1 或 2
[解析]
根据题意,得 DQ=t cm,则 EQ=(4-t)cm,
由(1),得∠A=∠E,ED=AB=4 cm,
在△ACP 和△ECQ 中,$\begin{cases}∠A=∠E,\\AC=EC,\\∠ACP=∠ECQ,\end{cases}$
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
分两种情况讨论:
当$0≤ t≤ \frac{4}{3}$时,3t=4-t,解得 t=1;
当$\frac{4}{3}＜ t≤ \frac{8}{3}$时,8-3t=4-t,解得 t=2.
综上所述,当线段 PQ 经过点 C 时,t 的值为 1 或 2,
∴DQ 的长为 1 cm 或 2 cm.
11.(1)3 2
[解析]当 t=1 时,AP=3 cm;当 t=2 时,AP=4-(6-4)=2(cm).
(2)在△ABC 和△EDC 中,$\begin{cases}AC=EC,\\∠ACB=∠ECD,\\BC=DC,\end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴∠A=∠E,
∴AB//DE.
(3)1 或 2
[解析]
根据题意,得 DQ=t cm,则 EQ=(4-t)cm,
由(1),得∠A=∠E,ED=AB=4 cm,
在△ACP 和△ECQ 中,$\begin{cases}∠A=∠E,\\AC=EC,\\∠ACP=∠ECQ,\end{cases}$
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
分两种情况讨论:
当$0≤ t≤ \frac{4}{3}$时,3t=4-t,解得 t=1;
当$\frac{4}{3}＜ t≤ \frac{8}{3}$时,8-3t=4-t,解得 t=2.
综上所述,当线段 PQ 经过点 C 时,t 的值为 1 或 2,
∴DQ 的长为 1 cm 或 2 cm.
12. (2025·镇江中考)如图，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，$OB = OE$. 求证：$△ MOF ≌ △ NOC$.
视频学重难
视频学重难
答案：12.
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,∠F=∠C.
∵OB=OE,
∴BC-OB=EF-OE,即 OC=OF,
在△MOF 和△NOC 中,$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC(ASA).
思路引导 根据全等三角形的性质可得 BC=EF,∠F=∠C,再结合题意得到 OC=OF,根据 ASA 即可证明△MOF≌△NOC.
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,∠F=∠C.
∵OB=OE,
∴BC-OB=EF-OE,即 OC=OF,
在△MOF 和△NOC 中,$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC(ASA).
思路引导 根据全等三角形的性质可得 BC=EF,∠F=∠C,再结合题意得到 OC=OF,根据 ASA 即可证明△MOF≌△NOC.