1. (2026·扬州期末)如图，直线$y=kx-b(k≠0)$与x轴交于点$(-5,0)$，下列说法正确的是(
A.$k＞0,b＞0$
B.直线$y=bx+k$不经过第四象限
C.关于x的方程$kx-b=0(k≠0)$的解为$x=-5$
D.$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是直线$y=kx-b$上的两点，若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
C
).A.$k＞0,b＞0$
B.直线$y=bx+k$不经过第四象限
C.关于x的方程$kx-b=0(k≠0)$的解为$x=-5$
D.$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是直线$y=kx-b$上的两点，若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
答案：1.C
2. (2025·南京理工大学附中月考)已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$，如表是$x$与$y$的一些对应数值，则下列结论中正确的是(
A.$y$随$x$的增大而增大
B.该函数的图象经过第一、二、三象限
C.关于$x$的方程$kx+b=1$的解是$x=1$
D.该函数的图象与$y$轴的交点是$(0,2)$
C
).A.$y$随$x$的增大而增大
B.该函数的图象经过第一、二、三象限
C.关于$x$的方程$kx+b=1$的解是$x=1$
D.该函数的图象与$y$轴的交点是$(0,2)$
答案：2.C
3.如图，一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$(2,0)$，点$(0,3)$，有下列结论：①图象经过点$(1,-3)$；②关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=2$；③关于$x$的方程$kx+b=3$的解为$x=0$；④当$x＞2$时，$y＜0$。其中正确的是
②③④
。答案：3.②③④
[解析]把点(2,0),(0,3)代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}2k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{2},\\b=3,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+3$,当$x=1$时,$y=\dfrac{3}{2}$,
∴图象不经过点$(1,-3)$,故①不符合题意;由图象得关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=2$,故②符合题意;关于$x$的方程$kx+b=3$的解为$x=0$,故③符合题意;当$x＞2$时,$y＜0$,故④符合题意.
[解析]把点(2,0),(0,3)代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}2k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{2},\\b=3,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+3$,当$x=1$时,$y=\dfrac{3}{2}$,
∴图象不经过点$(1,-3)$,故①不符合题意;由图象得关于$x$的方程$kx+b=0$的解为$x=2$,故②符合题意;关于$x$的方程$kx+b=3$的解为$x=0$,故③符合题意;当$x＞2$时,$y＜0$,故④符合题意.
4. 分类讨论思想 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=2x-2$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$，$D$，且这两个函数图象交于点$P$，$OC=OD=4OA$，连接$OP$，$BC$。
(1)直接写出$C$，$D$两点的坐标：$C($
(2)求四边形$OBCP$的面积；
(3)若直线$AB$上存在一点$Q$，使得$S_{△ PQC}=S_{\mathrm{四边形}OBCP}$，求点$Q$的坐标。
(1)直接写出$C$，$D$两点的坐标：$C($
4
，0
$)$，$D($0
，4
$)$；(2)求四边形$OBCP$的面积；
(3)若直线$AB$上存在一点$Q$，使得$S_{△ PQC}=S_{\mathrm{四边形}OBCP}$，求点$Q$的坐标。
答案：
4.(1)4 0 0 4
[解析]将$y=0$代入一次函数$y=2x-2$中,得$2x-2=0$,解得$x=1$,
∴$A(1,0)$,
∴$OA=1$,
∴$OC=OD=4OA=4$,
∴$C(4,0)$,$D(0,4)$.
(2)
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$,$D$,
∴由(1)可得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
∴直线$CD$的表达式为$y=-x+4$.
在一次函数$y=2x-2$中,令$x=0$,则$y=-2$.
∴点$B$的坐标为$(0,-2)$.
联立$\begin{cases}y=2x-2,\\y=-x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
∴点$P$的坐标为$(2,2)$,
∴$S_{\mathrm{四边形}OBCP}=S_{△ OCP}+S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}OC·|y_P|+\dfrac{1}{2}OC· OB=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4×2=8$.
(3)
∵点$Q$在直线$AB$上,
∴设点$Q$为$(a,2a-2)$.分为以下两种情况讨论:当点$Q$在点$P$的下方时,如图中$Q_1$所示.
由(1),(2)可得,$AC=3$,点$P$的坐标为$(2,2)$,
∴$S_{△ PQ_1C}=\dfrac{1}{2}AC·|y_P|+\dfrac{1}{2}AC·|y_{Q_1}|=\dfrac{1}{2}×3×2+\dfrac{1}{2}×3×|2a-2|=3+\dfrac{3}{2}×|2a-2|$.
∵$S_{△ PQ_1C}=S_{\mathrm{四边形}OBCP}$,
∴$3+\dfrac{3}{2}×|2a-2|=8$,
∴$\dfrac{3}{2}(2-2a)=5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴$2a-2=2×(-\dfrac{2}{3})-2=-\dfrac{10}{3}$,
∴点$Q_1$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{10}{3})$.
当点$Q$在点$P$的上方时,如图中$Q_2$所示.
$S_{△ PQ_2C}=\dfrac{1}{2}AC·|y_{Q_2}|-\dfrac{1}{2}AC·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×|2a-2|-\dfrac{1}{2}×3×2=\dfrac{3}{2}×|2a-2|-3$,
∴$\dfrac{3}{2}×|2a-2|-3=8$,
∴$\dfrac{3}{2}(2a-2)=11$,
解得$a=\dfrac{14}{3}$,
∴$2a-2=2×\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{22}{3}$,
∴点$Q_2$的坐标为$(\dfrac{14}{3},\dfrac{22}{3})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{10}{3})$或$(\dfrac{14}{3},\dfrac{22}{3})$.
归纳总结 本题考查一次函数的图象及性质,熟练掌握一次函数的图象及性质、三角形的面积公式是解题的关键.
4.(1)4 0 0 4
[解析]将$y=0$代入一次函数$y=2x-2$中,得$2x-2=0$,解得$x=1$,
∴$A(1,0)$,
∴$OA=1$,
∴$OC=OD=4OA=4$,
∴$C(4,0)$,$D(0,4)$.
(2)
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$,$D$,
∴由(1)可得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
∴直线$CD$的表达式为$y=-x+4$.
在一次函数$y=2x-2$中,令$x=0$,则$y=-2$.
∴点$B$的坐标为$(0,-2)$.
联立$\begin{cases}y=2x-2,\\y=-x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$
∴点$P$的坐标为$(2,2)$,
∴$S_{\mathrm{四边形}OBCP}=S_{△ OCP}+S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}OC·|y_P|+\dfrac{1}{2}OC· OB=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×4×2=8$.
(3)
∵点$Q$在直线$AB$上,
∴设点$Q$为$(a,2a-2)$.分为以下两种情况讨论:当点$Q$在点$P$的下方时,如图中$Q_1$所示.
由(1),(2)可得,$AC=3$,点$P$的坐标为$(2,2)$,
∴$S_{△ PQ_1C}=\dfrac{1}{2}AC·|y_P|+\dfrac{1}{2}AC·|y_{Q_1}|=\dfrac{1}{2}×3×2+\dfrac{1}{2}×3×|2a-2|=3+\dfrac{3}{2}×|2a-2|$.
∵$S_{△ PQ_1C}=S_{\mathrm{四边形}OBCP}$,
∴$3+\dfrac{3}{2}×|2a-2|=8$,
∴$\dfrac{3}{2}(2-2a)=5$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴$2a-2=2×(-\dfrac{2}{3})-2=-\dfrac{10}{3}$,
∴点$Q_1$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{10}{3})$.
当点$Q$在点$P$的上方时,如图中$Q_2$所示.
$S_{△ PQ_2C}=\dfrac{1}{2}AC·|y_{Q_2}|-\dfrac{1}{2}AC·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×|2a-2|-\dfrac{1}{2}×3×2=\dfrac{3}{2}×|2a-2|-3$,
∴$\dfrac{3}{2}×|2a-2|-3=8$,
∴$\dfrac{3}{2}(2a-2)=11$,
解得$a=\dfrac{14}{3}$,
∴$2a-2=2×\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{22}{3}$,
∴点$Q_2$的坐标为$(\dfrac{14}{3},\dfrac{22}{3})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{10}{3})$或$(\dfrac{14}{3},\dfrac{22}{3})$.
归纳总结 本题考查一次函数的图象及性质,熟练掌握一次函数的图象及性质、三角形的面积公式是解题的关键.