1. 如图，已知$△ ABC$ 的面积为 12，$BM$ 平分$∠ ABC$，且 $AM ⊥ BM$ 于点 $M$，$D$ 为边 $BC$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，连接 $MD$，则$△ CMD$ 的面积为(
A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）
（拓展1.1）
C
).A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）（拓展1.1）答案：
如图，延长 AM 交 BC 于点 N.
∵ BM 平分 ∠ABC,
∴∠ABM=∠NBM.
∵ AM⊥BM,
∴∠AMB=∠NMB.
在△ABM 和△NBM 中,
$\begin{cases} ∠ABM=∠NBM,\\ BM=BM,\\ ∠AMB=∠NMB, \end{cases}$
∴△ABM≌△NBM(ASA),
∴AM=MN,
∴$S_{△AMB}=S_{△NMB},S_{△AMC}=S_{△NMC},∴S_{△BMC}=S_{△BMN}+S_{△NMC}=\frac{1}{2}S_{△ABN}+\frac{1}{2}S_{△ACN}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6.$
∵D 为边 BC 上靠近点 B 的三等分点，
∴△CMD 的面积为$\frac{2}{3}S_{△BMC}=4$. 故选 C.
如图，延长 AM 交 BC 于点 N.
∵ BM 平分 ∠ABC,
∴∠ABM=∠NBM.
∵ AM⊥BM,
∴∠AMB=∠NMB.
在△ABM 和△NBM 中,
$\begin{cases} ∠ABM=∠NBM,\\ BM=BM,\\ ∠AMB=∠NMB, \end{cases}$
∴△ABM≌△NBM(ASA),
∴AM=MN,
∴$S_{△AMB}=S_{△NMB},S_{△AMC}=S_{△NMC},∴S_{△BMC}=S_{△BMN}+S_{△NMC}=\frac{1}{2}S_{△ABN}+\frac{1}{2}S_{△ACN}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6.$
∵D 为边 BC 上靠近点 B 的三等分点，
∴△CMD 的面积为$\frac{2}{3}S_{△BMC}=4$. 故选 C.
拓展1.1 如图，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，AD与BF交于点E，AD=BD=5，DC=2，则AE的长为
3
。答案：
∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠BDE=∠ADC=∠AFE=90°.
∵∠AEF=∠BED,
∴∠DAC=∠DBE.
在△ADC 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠BDE,\\ AD=BD,\\ ∠DAC=∠DBE, \end{cases}$
∴△ADC≌△BDE(ASA),
∴DE=DC=2,
∴AE=AD-DE=5-2=3.
∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠BDE=∠ADC=∠AFE=90°.
∵∠AEF=∠BED,
∴∠DAC=∠DBE.
在△ADC 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠BDE,\\ AD=BD,\\ ∠DAC=∠DBE, \end{cases}$
∴△ADC≌△BDE(ASA),
∴DE=DC=2,
∴AE=AD-DE=5-2=3.
拓展1.2 如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG。
(1)求证：DE=DF；
(2)若BG=CA，DE=4，求AG的长。
（拓展1.2）
(1)求证：DE=DF；
(2)若BG=CA，DE=4，求AG的长。
（拓展1.2）
答案：(1)
∵AD 是△ABC 的中线,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠F=∠BED=90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED=∠F,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF.
(2)
∵△BDE≌△CDF,
∴BE=CF.
在Rt△BEG 和Rt△CFA 中,$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BEG≌Rt△CFA(HL),
∴EG=FA,
∴AG=EF.
∵DE=DF=4,
∴EF=DE+DF=8,
∴AG=EF=8.
∵AD 是△ABC 的中线,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠F=∠BED=90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED=∠F,\\ ∠BDE=∠CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF.
(2)
∵△BDE≌△CDF,
∴BE=CF.
在Rt△BEG 和Rt△CFA 中,$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BEG≌Rt△CFA(HL),
∴EG=FA,
∴AG=EF.
∵DE=DF=4,
∴EF=DE+DF=8,
∴AG=EF=8.
2.如图，$∠ MON = 30°$，点$A_1,A_2,A_3,A_4$在射线$ON$上，点$B_1,B_2,B_3$在射线$OM$上，$△ A_1B_1A_2$，$△ A_2B_2A_3$，$△ A_3B_3A_4$均为等边三角形，依此类推，若$OA_1 = 1$，则$△ A_{2025}B_{2025}A_{2026}$的边长为(
A.$2^{2025}$
B.$2025$
C.$2^{2024}$
D.$2024$
C
).A.$2^{2025}$
B.$2025$
C.$2^{2024}$
D.$2024$
答案：由题意,得$∠B_1A_1A_2=60°$.
∵∠MON=30°,
∠MON + ∠A_1B_1O = ∠B_1A_1A_2,
∴∠A_1B_1O = 30°=∠MON,
∴$A_1B_1=OA_1=1$,即$△A_1B_1A_2$的边长为$1=2^0$;
同理,可得$∠A_2B_2O=30°=∠MON$,
∴$A_2B_2=OA_1+A_1A_2=1+1=2$,即$△A_2B_2A_3$的边长为$2=2^1$;同理可得$∠A_3B_3O=30°=∠MON$,
∴$A_3B_3=OA_1+A_1A_2+A_2A_3=1+1+2=4$,即$△A_3B_3A_4$的边长为$4=2^2$;…
∴$△A_{2025}B_{2025}A_{2026}$的边长为$2^{2024}$. 故选 C.
∵∠MON=30°,
∠MON + ∠A_1B_1O = ∠B_1A_1A_2,
∴∠A_1B_1O = 30°=∠MON,
∴$A_1B_1=OA_1=1$,即$△A_1B_1A_2$的边长为$1=2^0$;
同理,可得$∠A_2B_2O=30°=∠MON$,
∴$A_2B_2=OA_1+A_1A_2=1+1=2$,即$△A_2B_2A_3$的边长为$2=2^1$;同理可得$∠A_3B_3O=30°=∠MON$,
∴$A_3B_3=OA_1+A_1A_2+A_2A_3=1+1+2=4$,即$△A_3B_3A_4$的边长为$4=2^2$;…
∴$△A_{2025}B_{2025}A_{2026}$的边长为$2^{2024}$. 故选 C.
拓展2.1 如图，已知$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰三角形，$∠ BAC = ∠ DAE = 120°$，$AB = AC = 4$，若$D$为线段$BC$上的一个动点，$P$为$AC$的中点，连接$PE$，则$PE$的最小值为
1
。答案：
取 AB 的中点 Q,连接 DQ.
∵∠BAC = ∠DAE = 120°,
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠QAD=∠PAE.
∵AB=AC=4,P 为 AC 中点,
∴AQ=AP=2.
在△AQD 和△APE 中,$\begin{cases} AQ=AP,\\ ∠QAD=∠PAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△AQD≌△APE(SAS),
∴QD=PE.
∵点 D 在直线 BC 上运动,
∴当 QD⊥BC 时,QD 最小.
∵△ABC 是等腰三角形,$∠BAC=120°$,
∴∠B=$\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$.
∵QD⊥BC,
∴QD=$\frac{1}{2}QB=\frac{1}{4}AB=1$,
∴线段 PE 的最小值为 1.
取 AB 的中点 Q,连接 DQ.
∵∠BAC = ∠DAE = 120°,
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠QAD=∠PAE.
∵AB=AC=4,P 为 AC 中点,
∴AQ=AP=2.
在△AQD 和△APE 中,$\begin{cases} AQ=AP,\\ ∠QAD=∠PAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△AQD≌△APE(SAS),
∴QD=PE.
∵点 D 在直线 BC 上运动,
∴当 QD⊥BC 时,QD 最小.
∵△ABC 是等腰三角形,$∠BAC=120°$,
∴∠B=$\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$.
∵QD⊥BC,
∴QD=$\frac{1}{2}QB=\frac{1}{4}AB=1$,
∴线段 PE 的最小值为 1.
拓展2.2 问题情境:数学实践活动中,小明把两个等腰直角三角板CAB和CDE按如图(1)所示背靠背放在一起,直角顶点C重合,CA=CB,CE=CD.
问题探究:
(1)BE和AD的位置关系是
(2)如图(2),当△BAH是等腰直角三角形时,BA=AH,∠BAH=90°,AC⊥BH于点C,
AD⊥BG,若G恰好是AH中点.
①求证:∠GDH=∠CDA;
②请探究:AD,GD,BG三条线段之间的数量关系,并说明理由.
问题探究:
(1)BE和AD的位置关系是
BE⊥AD
,数量关系是BE=AD
,∠CFD=45
度;(2)如图(2),当△BAH是等腰直角三角形时,BA=AH,∠BAH=90°,AC⊥BH于点C,
AD⊥BG,若G恰好是AH中点.
①求证:∠GDH=∠CDA;
②请探究:AD,GD,BG三条线段之间的数量关系,并说明理由.
答案：(1)$BE⊥AD$ $BE=AD$ $45$
(2)①
∵△ABC,△BAH 是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,∠H=45°.
∵∠BAH=90°,
∴∠HAC=∠BAH-∠BAC=45°,
∴∠HAC=∠H,
∴AC=HC.
∵CE=CD,
∴AC-CE=HC-CD,
∴AE=HD.
∵G 是 AH 的中点,
∴AG=HG.
在△AEG 和△HDG 中,$\begin{cases} AG=HG,\\ ∠GAE=∠H,\\ AE=HD, \end{cases}$
∴△AEG≌△HDG(SAS),
∴∠AEG=∠HDG.
∵∠AEG=∠BEC,
∴∠BEC=∠HDG.
在△BCE 和△ACD 中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠BCE=∠ACD,\\ EC=DC, \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠BEC=∠ADC,
∴∠ADC=∠HDG.
②$AD+GD=BG$,理由如下:
∵△BCE≌△ACD,
∴BE=AD.
∵△AEG≌△HDG,
∴EG=DG,
∴AD+DG=BE+EG=BG.
(2)①
∵△ABC,△BAH 是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,∠H=45°.
∵∠BAH=90°,
∴∠HAC=∠BAH-∠BAC=45°,
∴∠HAC=∠H,
∴AC=HC.
∵CE=CD,
∴AC-CE=HC-CD,
∴AE=HD.
∵G 是 AH 的中点,
∴AG=HG.
在△AEG 和△HDG 中,$\begin{cases} AG=HG,\\ ∠GAE=∠H,\\ AE=HD, \end{cases}$
∴△AEG≌△HDG(SAS),
∴∠AEG=∠HDG.
∵∠AEG=∠BEC,
∴∠BEC=∠HDG.
在△BCE 和△ACD 中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠BCE=∠ACD,\\ EC=DC, \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠BEC=∠ADC,
∴∠ADC=∠HDG.
②$AD+GD=BG$,理由如下:
∵△BCE≌△ACD,
∴BE=AD.
∵△AEG≌△HDG,
∴EG=DG,
∴AD+DG=BE+EG=BG.