3. 如图,在等边三角形ABC中,AB=4,P是边BC上的动点,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=CE=1.当PD+PE的值最小时,BP的长为(
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
（拓展3.1）
C
).A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
（拓展3.1）
答案：
作点 E 关于 BC 的对称点 E',连接 DE'交 BC 于点 P,此时 DP+EP 最小,连接 CE'.
由对称性可知,$CE'=CE=AD,∠ECB=∠E'CB$,
∴∠ECE'=120°.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠BAC=60°,即∠BAC+∠ECE'=180°,
∴AB//CE'.
连接 AE',
∴∠DAE'=∠CE'A.
∵DA=CE',AE'=E'A,
∴△DAE'≌△CE'A (SAS),
∴∠DE'A = ∠CAE',
∴DE'//AC,
∴∠BPD=∠BCA=60°,
∴△BPD 是等边三角形,
∴BP=BD=AB-AD=3. 故选 C.
作点 E 关于 BC 的对称点 E',连接 DE'交 BC 于点 P,此时 DP+EP 最小,连接 CE'.
由对称性可知,$CE'=CE=AD,∠ECB=∠E'CB$,
∴∠ECE'=120°.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠BAC=60°,即∠BAC+∠ECE'=180°,
∴AB//CE'.
连接 AE',
∴∠DAE'=∠CE'A.
∵DA=CE',AE'=E'A,
∴△DAE'≌△CE'A (SAS),
∴∠DE'A = ∠CAE',
∴DE'//AC,
∴∠BPD=∠BCA=60°,
∴△BPD 是等边三角形,
∴BP=BD=AB-AD=3. 故选 C.
拓展3.1 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，点$D$在$BC$上，点$E$在$AB$上，$∠ EDB=∠ ADC$，点$F$在$BC$上，$∠ AFE=2∠ FAC$，$∠ DAF=60°$，$AF=8$，$AD=6$，则$ED=$
2
。答案：
作 FM⊥AB 于点 M,延长 ED 至点 N 使∠DNF=60°,设∠FAC=α.
∵∠BAC = 90°, FM ⊥ AB,
∴MF//AC,
∴∠MFA=∠FAC=α.
∵∠AFE=2∠FAC=2α,
∴∠MFA=∠MFE=α,
∴∠AEF = ∠EAF = 90°-α,
∴△AEF 为等腰三角形,
∴EF=AF=8.
∵∠FDN = ∠EDB,
∠EDB=∠ADC,
∴∠FDN = ∠ADC,
∴△DAF ≌ △DNF(AAS),
∴NF=AF=8,DN=AD=6.
∵EF=AF=8,
∴EF=NF=8.
∵∠DNF=60°,
∴△ENF 是等边三角形,
∴EN=NF=8,
∴ED=EN-DN=8-6=2.
作 FM⊥AB 于点 M,延长 ED 至点 N 使∠DNF=60°,设∠FAC=α.
∵∠BAC = 90°, FM ⊥ AB,
∴MF//AC,
∴∠MFA=∠FAC=α.
∵∠AFE=2∠FAC=2α,
∴∠MFA=∠MFE=α,
∴∠AEF = ∠EAF = 90°-α,
∴△AEF 为等腰三角形,
∴EF=AF=8.
∵∠FDN = ∠EDB,
∠EDB=∠ADC,
∴∠FDN = ∠ADC,
∴△DAF ≌ △DNF(AAS),
∴NF=AF=8,DN=AD=6.
∵EF=AF=8,
∴EF=NF=8.
∵∠DNF=60°,
∴△ENF 是等边三角形,
∴EN=NF=8,
∴ED=EN-DN=8-6=2.
拓展3.2 数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点.
[实际背景]设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？
[数学问题]在平面内，假设三座工厂分别记作点A,B,C，发电厂记作点P，请在平面内找一点P，使得$PA+PB+PC$最小.
(1)探究1:当点A,B,C在同一直线上(如图(1)),点B在点A和点C之间,要使得$PA+PB+PC$最小,点P的位置为
①三角形任意两边之和大于第三边；
②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)探究2:当点A,B,C不共线时(如图(2)),在$△ ABC$中,最大内角$∠ BAC＜120°$,点P在$△ ABC$内.
小敏说:两条折线段之和最小值就是连接两点的线段长；
小丽提出困惑:如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢?
欢欢说:目前线段相等转化的方法有:构造全等三角形、等边三角形(或等腰三角形)……
聪聪说:将$△ BPC$绕点B顺时针旋转$60°$得$△ BP'C'$,连接$PP'$(如图(3));此时要使得$PA+PB+PC$最小,则点$A,P,P',C'$在同一直线上(如图(4)),可以得出$∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120°$.
①你同意该小组同学的说法吗?如果不同意,请说出理由;如果同意,请写出证明$∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120°$的推理过程.
②从上面的证明还可以得到$△ BC'C$是等边三角形,此时点P在线段$AC'$上;请用直尺和圆规在图(5)中作出点P使得$PA+PB+PC$最小.
[实际背景]设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？
[数学问题]在平面内，假设三座工厂分别记作点A,B,C，发电厂记作点P，请在平面内找一点P，使得$PA+PB+PC$最小.
(1)探究1:当点A,B,C在同一直线上(如图(1)),点B在点A和点C之间,要使得$PA+PB+PC$最小,点P的位置为
点B
,依据是:①
(填写序号).①三角形任意两边之和大于第三边；
②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)探究2:当点A,B,C不共线时(如图(2)),在$△ ABC$中,最大内角$∠ BAC＜120°$,点P在$△ ABC$内.
小敏说:两条折线段之和最小值就是连接两点的线段长；
小丽提出困惑:如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢?
欢欢说:目前线段相等转化的方法有:构造全等三角形、等边三角形(或等腰三角形)……
聪聪说:将$△ BPC$绕点B顺时针旋转$60°$得$△ BP'C'$,连接$PP'$(如图(3));此时要使得$PA+PB+PC$最小,则点$A,P,P',C'$在同一直线上(如图(4)),可以得出$∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120°$.
①你同意该小组同学的说法吗?如果不同意,请说出理由;如果同意,请写出证明$∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120°$的推理过程.
②从上面的证明还可以得到$△ BC'C$是等边三角形,此时点P在线段$AC'$上;请用直尺和圆规在图(5)中作出点P使得$PA+PB+PC$最小.
答案：
(1)点 B ①
(2)①同意.
理由:由旋转变换的性质可知,$BP=BP',PC=P'C'$,∠PBP'=60°,
∴△PBP'是等边三角形,
∴PB=PP',∠BPP'=∠BP'P=60°,
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'≥AC',
∴当点 A,P,P',C'在同一直线上时,PA+PB+PC 的值最小,
∴∠APB=180°-∠BPP'=120°.
∵∠BPC=∠BP'C'=180°-60°=120°,
∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°,
∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°.
②如图,点 P 即为所求.
本题是几何变换综合题,主要考查旋转的性质,全等三角形的判定和性质,两点之间线段最短以及等边三角形的性质,深入理解题意是解决问题的关键.
(1)点 B ①
(2)①同意.
理由:由旋转变换的性质可知,$BP=BP',PC=P'C'$,∠PBP'=60°,
∴△PBP'是等边三角形,
∴PB=PP',∠BPP'=∠BP'P=60°,
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'≥AC',
∴当点 A,P,P',C'在同一直线上时,PA+PB+PC 的值最小,
∴∠APB=180°-∠BPP'=120°.
∵∠BPC=∠BP'C'=180°-60°=120°,
∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°,
∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°.
②如图,点 P 即为所求.
本题是几何变换综合题,主要考查旋转的性质,全等三角形的判定和性质,两点之间线段最短以及等边三角形的性质,深入理解题意是解决问题的关键.