4.[探究与发现](1)如图(1),AD是△ABC的中线,且AB＞AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得△ADC≌△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为(
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
[变式与应用](2)如图(2),EP是△DEF的中线,若EF=8,DE=6,求出EP的取值范围.
[感悟]解题时,条件中若出现"中点""中线"字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一
个三角形中.
[问题拓展](3)如图(3),OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°,连接AC,BD,E是AC的中点,求证:OE=$\frac{1}{2}$BD.
B
).A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
[变式与应用](2)如图(2),EP是△DEF的中线,若EF=8,DE=6,求出EP的取值范围.
[感悟]解题时,条件中若出现"中点""中线"字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一
个三角形中.
[问题拓展](3)如图(3),OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°,连接AC,BD,E是AC的中点,求证:OE=$\frac{1}{2}$BD.
答案：
(1)B
(2)如图(1),延长 EP 至点 Q,使 PQ=PE,连接 FQ.
在△EDP 与△QFP 中,$\begin{cases} PE=PQ,\\ ∠EPD=∠QPF,\\ PD=PF, \end{cases}$
∴△EDP≌△QFP(SAS),
∴FQ=DE=6.
∵在△EFQ 中,EF-FQ＜QE＜EF+FQ,即 8-6＜2EP＜8+6,
∴EP 的取值范围为 1＜EP＜7.
(3)如图(2),延长 OE 至点 H,使 EH=OE,连接 CH.
∵E 是 AC 的中点,
∴AE=CE.
∵OE=EH,∠AEO=∠CEH,
∴△AEO≌△CEH(SAS),
∴AO=CH,∠A=∠HCE,
∴AO//CH,
∴∠AOC+∠HCO=180°.
∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOC+∠BOD=180°,
∴∠BOD=∠OCH.
∵CH=OA=OB,OC=OD,
∴△BOD≌△HCO(SAS),
∴BD=OH,
∴OE=$\frac{1}{2}$BD.
(1)B
(2)如图(1),延长 EP 至点 Q,使 PQ=PE,连接 FQ.
在△EDP 与△QFP 中,$\begin{cases} PE=PQ,\\ ∠EPD=∠QPF,\\ PD=PF, \end{cases}$
∴△EDP≌△QFP(SAS),
∴FQ=DE=6.
∵在△EFQ 中,EF-FQ＜QE＜EF+FQ,即 8-6＜2EP＜8+6,
∴EP 的取值范围为 1＜EP＜7.
(3)如图(2),延长 OE 至点 H,使 EH=OE,连接 CH.
∵E 是 AC 的中点,
∴AE=CE.
∵OE=EH,∠AEO=∠CEH,
∴△AEO≌△CEH(SAS),
∴AO=CH,∠A=∠HCE,
∴AO//CH,
∴∠AOC+∠HCO=180°.
∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOC+∠BOD=180°,
∴∠BOD=∠OCH.
∵CH=OA=OB,OC=OD,
∴△BOD≌△HCO(SAS),
∴BD=OH,
∴OE=$\frac{1}{2}$BD.
拓展4.1 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
(1) 如图(1), $AD$ 是$△ ABC$ 的中线, $AB=6$, $AC=10$,求 $AD$ 的取值范围.
我们可以延长 $AD$ 到点 $E$. 使 $DE=AD$, 连接 $BE$, 根据 $SAS$ 可证 $△ ADC ≌ △ EDB$, 所以 $BE=AC$. 接下来, 在 $△ ABE$ 中利用三角形的三边关系可求得 $AE$ 的取值范围, 从而得到中线 $AD$ 的取值范围是:
(2) 由第(1)问的方法得到启发,如图(2),在 $△ ABC$ 中, $D$ 是边 $BC$ 上的一点, $AE$ 是 $△ ABD$ 的中线, $CD=AB$, $∠ BDA = ∠ BAD$, 试说明: $AC=2AE$;
(3) 如图(3), $AB=AE$, $AC=AF$, $∠ BAE = ∠ CAF=90°$, $D$ 为 $BC$ 的中点, 判断线段 $EF$ 与 $AD$ 的关系,并说明理由.
(1) 如图(1), $AD$ 是$△ ABC$ 的中线, $AB=6$, $AC=10$,求 $AD$ 的取值范围.
我们可以延长 $AD$ 到点 $E$. 使 $DE=AD$, 连接 $BE$, 根据 $SAS$ 可证 $△ ADC ≌ △ EDB$, 所以 $BE=AC$. 接下来, 在 $△ ABE$ 中利用三角形的三边关系可求得 $AE$ 的取值范围, 从而得到中线 $AD$ 的取值范围是:
2＜AD＜8
;(直接填结果,不用写出求解过程)(2) 由第(1)问的方法得到启发,如图(2),在 $△ ABC$ 中, $D$ 是边 $BC$ 上的一点, $AE$ 是 $△ ABD$ 的中线, $CD=AB$, $∠ BDA = ∠ BAD$, 试说明: $AC=2AE$;
(3) 如图(3), $AB=AE$, $AC=AF$, $∠ BAE = ∠ CAF=90°$, $D$ 为 $BC$ 的中点, 判断线段 $EF$ 与 $AD$ 的关系,并说明理由.
答案：
(1)$2＜AD＜8$
(2)如图(1),延长 AE 至点 F,使得 EF=AE,连接 DF,则 AF=EF+AE=2AE.
∵E 是 BD 中点,
∴DE=BE.
在△EDF 和△EBA 中,$\begin{cases} DE=BE,\\ ∠DEF=∠BEA,\\ EF=EA, \end{cases}$
∴△EDF≌△EBA(SAS),
∴DF=AB=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB.
∵∠CDA=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,∠BDA=∠BAD,
∴∠ADC=∠ADF.
在△AFD 和△ACD 中,$\begin{cases} FD=CD,\\ ∠ADF=∠ADC,\\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AFD≌△ACD(SAS),
∴AC=AF,
∴AC=2AE.
(3)$EF=2AD,EF⊥AD$. 理由如下:如图(2),延长 DA 交 EF 于点 P,延长 AD 到点 M,使得 DM=AD,连接 BM.
由(1)可知,△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC,∠M=∠CAD.
∵AC=AF,
∴BM=AF.
∵∠M=∠CAD,
∴AC//BM,
∴∠BAC+∠ABM=180°.
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,
∴∠ABM=∠EAF.
在△ABM 和△EAF 中,$\begin{cases} AB=EA,\\ ∠ABM=∠EAF,\\ BM=AF, \end{cases}$
∴△ABM≌△EAF(SAS),
∴AM=EF,∠BAM=∠E.
∵AD=DM,
∴AM=2AD,
∴EF=2AD.
∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE,
∴∠APE=∠BAE=90°,
∴EF⊥AD.
(1)$2＜AD＜8$
(2)如图(1),延长 AE 至点 F,使得 EF=AE,连接 DF,则 AF=EF+AE=2AE.
∵E 是 BD 中点,
∴DE=BE.
在△EDF 和△EBA 中,$\begin{cases} DE=BE,\\ ∠DEF=∠BEA,\\ EF=EA, \end{cases}$
∴△EDF≌△EBA(SAS),
∴DF=AB=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB.
∵∠CDA=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,∠BDA=∠BAD,
∴∠ADC=∠ADF.
在△AFD 和△ACD 中,$\begin{cases} FD=CD,\\ ∠ADF=∠ADC,\\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AFD≌△ACD(SAS),
∴AC=AF,
∴AC=2AE.
(3)$EF=2AD,EF⊥AD$. 理由如下:如图(2),延长 DA 交 EF 于点 P,延长 AD 到点 M,使得 DM=AD,连接 BM.
由(1)可知,△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC,∠M=∠CAD.
∵AC=AF,
∴BM=AF.
∵∠M=∠CAD,
∴AC//BM,
∴∠BAC+∠ABM=180°.
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,
∴∠ABM=∠EAF.
在△ABM 和△EAF 中,$\begin{cases} AB=EA,\\ ∠ABM=∠EAF,\\ BM=AF, \end{cases}$
∴△ABM≌△EAF(SAS),
∴AM=EF,∠BAM=∠E.
∵AD=DM,
∴AM=2AD,
∴EF=2AD.
∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE,
∴∠APE=∠BAE=90°,
∴EF⊥AD.