拓展4.2 倍长中线模型[问题初探]
(1)综合与实践数学活动课上,李老师给出了一个问题:如图(1),若$∠ A=60°,∠ ACB=90°,CD$平分$∠ ACB$,求证:$BC=AC+AD$.
①如图(2),小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在$BC$上截取$CE=CA$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$BE$与$AD$的数量关系;
②如图(3),小强同学从$CD$平分$∠ ACB$这个条件出发给出另一种解题思路:延长$CA$至点$E$,使$CE=CB$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$AE$与$AD$的数量关系;
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
[类比分析]
(2)李老师发现两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系;为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师将问题进行变式,请你解答:如图(4),在四边形$ABCD$中,$E$是$BC$的中点,若$AE$平分$∠ BAD$,$∠ AED=90°$,请你探究$AB,AD,CD$的数量关系并证明.
(1)综合与实践数学活动课上,李老师给出了一个问题:如图(1),若$∠ A=60°,∠ ACB=90°,CD$平分$∠ ACB$,求证:$BC=AC+AD$.
①如图(2),小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在$BC$上截取$CE=CA$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$BE$与$AD$的数量关系;
②如图(3),小强同学从$CD$平分$∠ ACB$这个条件出发给出另一种解题思路:延长$CA$至点$E$,使$CE=CB$,连接$DE$,将线段$BC,AC,AD$之间的数量关系转化为$AE$与$AD$的数量关系;
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
[类比分析]
(2)李老师发现两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系;为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师将问题进行变式,请你解答:如图(4),在四边形$ABCD$中,$E$是$BC$的中点,若$AE$平分$∠ BAD$,$∠ AED=90°$,请你探究$AB,AD,CD$的数量关系并证明.
答案：
(1)①选择小明同学. 如图(1),在 BC 上截取 CE=AC,则 CE+BE=BC,
∴AC+BE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD 和△ECD 中,$\begin{cases} CA=CE,\\ ∠ACD=∠ECD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=ED,∠A=∠CED.
∵∠A=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CED=∠ABC+∠EDB,
∴∠ABC=∠EDB=30°,
∴BE=ED,
∴BE=AD,
∴BC=AC+AD.
②选择小强同学. 如图(2),延长 CA 到点 E,使 CE=CB,则 CA+AE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD.
在△ECD 和△BCD 中,$\begin{cases} CE=CB,\\ ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ECD≌△BCD(SAS),
∴∠ABC=∠AED.
∵∠CAD=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CAB=∠AED+∠ADE,
∴∠AED=∠ADE=30°,
∴AE=AD,
∴BC=AC+AD.
(2)AB,AD,CD 的数量关系为 AB+CD=AD. 证明如下:
如图(3),在 AD 上截取 AM=AB,则 AM+DM=AD,
∴AB + DM = AD.
∵ AE 平分 ∠BAD,
∴∠BAE=∠MAE.
在△AME 和△ABE 中,$\begin{cases} AM=AB,\\ ∠MAE=∠BAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AME ≌ △ABE (SAS),
∴ EB = EM, ∠AEB = ∠AEM.
∵∠AED=90°,
∴∠AEM+∠DEM=90°,∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEM=∠DEC.
∵E 是 BC 的中点,
∴BE=EC,
∴ME=CE.
在△MDE 和△CDE 中,$\begin{cases} EM=EC,\\ ∠MED=∠CED,\\ ED=ED, \end{cases}$
∴△MDE≌△CDE(SAS),
∴CD=MD,
∴AD=AB+CD.
本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形外角性质,互余的性质,熟练掌握构造辅助线,灵活证明三角形的全等是解题的关键.
(1)①选择小明同学. 如图(1),在 BC 上截取 CE=AC,则 CE+BE=BC,
∴AC+BE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD 和△ECD 中,$\begin{cases} CA=CE,\\ ∠ACD=∠ECD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=ED,∠A=∠CED.
∵∠A=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CED=∠ABC+∠EDB,
∴∠ABC=∠EDB=30°,
∴BE=ED,
∴BE=AD,
∴BC=AC+AD.
②选择小强同学. 如图(2),延长 CA 到点 E,使 CE=CB,则 CA+AE=BC.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD.
在△ECD 和△BCD 中,$\begin{cases} CE=CB,\\ ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ECD≌△BCD(SAS),
∴∠ABC=∠AED.
∵∠CAD=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°.
∵∠CAB=∠AED+∠ADE,
∴∠AED=∠ADE=30°,
∴AE=AD,
∴BC=AC+AD.
(2)AB,AD,CD 的数量关系为 AB+CD=AD. 证明如下:
如图(3),在 AD 上截取 AM=AB,则 AM+DM=AD,
∴AB + DM = AD.
∵ AE 平分 ∠BAD,
∴∠BAE=∠MAE.
在△AME 和△ABE 中,$\begin{cases} AM=AB,\\ ∠MAE=∠BAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AME ≌ △ABE (SAS),
∴ EB = EM, ∠AEB = ∠AEM.
∵∠AED=90°,
∴∠AEM+∠DEM=90°,∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEM=∠DEC.
∵E 是 BC 的中点,
∴BE=EC,
∴ME=CE.
在△MDE 和△CDE 中,$\begin{cases} EM=EC,\\ ∠MED=∠CED,\\ ED=ED, \end{cases}$
∴△MDE≌△CDE(SAS),
∴CD=MD,
∴AD=AB+CD.
本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形外角性质,互余的性质,熟练掌握构造辅助线,灵活证明三角形的全等是解题的关键.
5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,直线$l$过点$C$.
(1)当$AC=BC$时,如图(1),分别过点$A,B$作$AD⊥ l$于点$D$,$BE⊥ l$于点$E$,求证:$△ ACD≌△ CBE$.
(2)当$AC=8,BC=6$时,如图(2),点$B$与点$F$关于直线$l$对称,连接$BF,CF$,动点$M$从点$A$出发,以每秒1个单位长度的速度沿边$AC$向终点$C$运动,同时动点$N$从点$F$出发,以每秒3个单位长度的速度沿$F\to C\to B\to C\to F$向终点$F$运动,点$M,N$到达相应的终点时停止运动,过点$M$作$MD⊥ l$于点$D$,过点$N$作$NE⊥ l$于点$E$,设运动时间为$t$秒.
①$CM=$
②直接写出当$△ MDC$与$△ CEN$全等时$t$的值.
(1)当$AC=BC$时,如图(1),分别过点$A,B$作$AD⊥ l$于点$D$,$BE⊥ l$于点$E$,求证:$△ ACD≌△ CBE$.
(2)当$AC=8,BC=6$时,如图(2),点$B$与点$F$关于直线$l$对称,连接$BF,CF$,动点$M$从点$A$出发,以每秒1个单位长度的速度沿边$AC$向终点$C$运动,同时动点$N$从点$F$出发,以每秒3个单位长度的速度沿$F\to C\to B\to C\to F$向终点$F$运动,点$M,N$到达相应的终点时停止运动,过点$M$作$MD⊥ l$于点$D$,过点$N$作$NE⊥ l$于点$E$,设运动时间为$t$秒.
①$CM=$
8-t
,当$N$在$F\to C$路径上时,$CN=$6-3t
;(用含$t$的代数式表示)②直接写出当$△ MDC$与$△ CEN$全等时$t$的值.
答案：(1)
∵AD⊥直线 l,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
在△ACD 和△CBE 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB,\\ ∠DAC=∠ECB,\\ CA=BC, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)①$8-t$ $6-3t$
②由轴对称的性质可知,∠BCE=∠FCE.
∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,
∴∠NCE=∠CMD,
∴当 CM=CN 时,△MDC 与△CEN 全等.
未给定“≌”一一对应,应注意要分类讨论
当点 N 沿 F→C 路径运动时,8-t=6-3t,解得 t=-1 (不合题意);
当点 N 沿 C→B 路径运动时,8-t=3t-6,解得 t=3.5;
当点 N 沿 B→C 路径运动时,由题意,得 8-t=18-3t,解得 t=5;当点 N 沿 C→F 路径运动时,由题意,得 8-t=3t-18,解得 t=6.5. 综上所述,当△MDC 与△CEN 全等时,t=3.5 秒或 5 秒或 6.5 秒.
∵AD⊥直线 l,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
在△ACD 和△CBE 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB,\\ ∠DAC=∠ECB,\\ CA=BC, \end{cases}$
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)①$8-t$ $6-3t$
②由轴对称的性质可知,∠BCE=∠FCE.
∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,
∴∠NCE=∠CMD,
∴当 CM=CN 时,△MDC 与△CEN 全等.
未给定“≌”一一对应,应注意要分类讨论
当点 N 沿 F→C 路径运动时,8-t=6-3t,解得 t=-1 (不合题意);
当点 N 沿 C→B 路径运动时,8-t=3t-6,解得 t=3.5;
当点 N 沿 B→C 路径运动时,由题意,得 8-t=18-3t,解得 t=5;当点 N 沿 C→F 路径运动时,由题意,得 8-t=3t-18,解得 t=6.5. 综上所述,当△MDC 与△CEN 全等时,t=3.5 秒或 5 秒或 6.5 秒.