拓展5.1 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$AC=20\ \mathrm{cm}$,$P$,$Q$是$△ ABC$边上的两个动点,其中点$P$从点$A$开始沿$A\rightarrow B$的方向运动,且速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$从点$B$开始沿$B\rightarrow C\rightarrow A$的方向运动,且速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,$P$,$Q$两点同时出发,设运动的时间为$t$秒.
(拓展5.1) 备用图
(1)$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$t$的代数式表示).
(2)当点$Q$在边$BC$上运动时.
①出发几秒后,$△ PQB$是等腰三角形?
②通过计算说明$PQ$能否把$△ ABC$的周长平分?
(3)当点$Q$在边$CA$上运动时,若$△ BCQ$是以$BC$或$BQ$为底边的等腰三角形,直接写出此时$t$的值.
(拓展5.1) 备用图
(1)$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$t$的代数式表示).
(2)当点$Q$在边$BC$上运动时.
①出发几秒后,$△ PQB$是等腰三角形?
②通过计算说明$PQ$能否把$△ ABC$的周长平分?
(3)当点$Q$在边$CA$上运动时,若$△ BCQ$是以$BC$或$BQ$为底边的等腰三角形,直接写出此时$t$的值.
答案：
(1)$(16-t)$
(2)①当点 Q 在边 BC 上运动时,△PQB 是等腰三角形时,则 BP=BQ,
∴16-t=2t,解得 $t=\frac{16}{3}$,
∴出发$\frac{16}{3}$ s 后,△PQB 是等腰三角形.
②不能,当点 Q 在 BC 上时(0≤t≤6),
∵BQ=2t,BP=(16-t),AP=t,
∴BP+BQ=CQ+AP+AC,
即 2t+16-t=t+20+(12-2t),解得 t=8,
∴点 Q 不在 BC 上,
∴PQ 不能把△ABC 的周长平分.
(3)当点 Q 在边 CA 上运动时. ①若△BCQ 是以 BC 为底边的等腰三角形,如图(1),则 BQ=CQ=AQ=$\frac{1}{2}AC=10$,
∴BC+CQ=BC+AC-AQ,
∴2t=32-10,解得 t=11.
②若△BCQ 是以 BQ 为底边的等腰三角形,如图(2),则 BC=CQ=12,2t=12+12,解得 t=12.
综上所述,t 为 11 s 或 12 s 时,△BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角形.
(1)$(16-t)$
(2)①当点 Q 在边 BC 上运动时,△PQB 是等腰三角形时,则 BP=BQ,
∴16-t=2t,解得 $t=\frac{16}{3}$,
∴出发$\frac{16}{3}$ s 后,△PQB 是等腰三角形.
②不能,当点 Q 在 BC 上时(0≤t≤6),
∵BQ=2t,BP=(16-t),AP=t,
∴BP+BQ=CQ+AP+AC,
即 2t+16-t=t+20+(12-2t),解得 t=8,
∴点 Q 不在 BC 上,
∴PQ 不能把△ABC 的周长平分.
(3)当点 Q 在边 CA 上运动时. ①若△BCQ 是以 BC 为底边的等腰三角形,如图(1),则 BQ=CQ=AQ=$\frac{1}{2}AC=10$,
∴BC+CQ=BC+AC-AQ,
∴2t=32-10,解得 t=11.
②若△BCQ 是以 BQ 为底边的等腰三角形,如图(2),则 BC=CQ=12,2t=12+12,解得 t=12.
综上所述,t 为 11 s 或 12 s 时,△BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角形.
拓展5.2 如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=20厘米，CD=8厘米，点M以6厘米/秒的速度从点C出发运动，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒。
(1)点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等。
①当t=2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由。
②当t为多少秒时，△BMN是一个直角三角形？
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由。
(1)点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等。
①当t=2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由。
②当t为多少秒时，△BMN是一个直角三角形？
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由。
答案：(1)①△BMN 和△CDM 全等. 理由如下:
点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等,即 6 厘米/秒,
∴当 t=2 时,CM=BN=2×6=12(厘米),
∴BM=BC-CM=20-12=8(厘米),
∴BM=CD.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴△BMN≌△CDM(SAS).
②当 MN⊥AB 时,△BMN 是直角三角形.
∵MN⊥AB,
∴∠BNM=90°.
∵∠B=60°,
∴∠BMN=30°,
∴BM=2BN.
∵点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等,即 6 厘米/秒,
∴BN=CM=6t,
∴BM=BC-CM=20-6t,
∴20-6t=2×6t,解得 $t=\frac{10}{9}$.
当 MN⊥BC 时,△BMN 是直角三角形,
同理,∠BNM=30°,则 BN=2BM.
∵BN=6t,BM=20-6t,
∴6t=2×(20-6t),解得 $t=\frac{20}{9}$. 综上所述,当运动时间 t 为$\frac{10}{9}$秒或$\frac{20}{9}$秒时,△BMN 是一个直角三角形.
(2)存在,t 的值为$\frac{5}{3}$秒,点 N 的运动速度为$\frac{24}{5}$厘米/秒.
理由如下:点 N 的运动速度与点 M 的运动速度不相等,设点 N 的运动速度为 a 厘米/秒,
∴CM=6t,BN=at,
∴BM=BC-CM=20-6t.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
当△BMN≌△CDM 时,BM=CD=8 厘米,BN=CM,
∴at=6t,解得 a=6,即点 N 的运动速度为 6 厘米/秒,不符合题意,舍去;当△BMN≌△CMD 时,BN=CD=8 厘米,BM=CM,
∴at=8,20-6t=6t,解得 $t=\frac{5}{3},a=\frac{24}{5}$.
综上所述,当△BMN 和△CDM 全等时,t 的值为$\frac{5}{3}$秒,点 N 的运动速度为$\frac{24}{5}$厘米/秒.
点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等,即 6 厘米/秒,
∴当 t=2 时,CM=BN=2×6=12(厘米),
∴BM=BC-CM=20-12=8(厘米),
∴BM=CD.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴△BMN≌△CDM(SAS).
②当 MN⊥AB 时,△BMN 是直角三角形.
∵MN⊥AB,
∴∠BNM=90°.
∵∠B=60°,
∴∠BMN=30°,
∴BM=2BN.
∵点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等,即 6 厘米/秒,
∴BN=CM=6t,
∴BM=BC-CM=20-6t,
∴20-6t=2×6t,解得 $t=\frac{10}{9}$.
当 MN⊥BC 时,△BMN 是直角三角形,
同理,∠BNM=30°,则 BN=2BM.
∵BN=6t,BM=20-6t,
∴6t=2×(20-6t),解得 $t=\frac{20}{9}$. 综上所述,当运动时间 t 为$\frac{10}{9}$秒或$\frac{20}{9}$秒时,△BMN 是一个直角三角形.
(2)存在,t 的值为$\frac{5}{3}$秒,点 N 的运动速度为$\frac{24}{5}$厘米/秒.
理由如下:点 N 的运动速度与点 M 的运动速度不相等,设点 N 的运动速度为 a 厘米/秒,
∴CM=6t,BN=at,
∴BM=BC-CM=20-6t.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
当△BMN≌△CDM 时,BM=CD=8 厘米,BN=CM,
∴at=6t,解得 a=6,即点 N 的运动速度为 6 厘米/秒,不符合题意,舍去;当△BMN≌△CMD 时,BN=CD=8 厘米,BM=CM,
∴at=8,20-6t=6t,解得 $t=\frac{5}{3},a=\frac{24}{5}$.
综上所述,当△BMN 和△CDM 全等时,t 的值为$\frac{5}{3}$秒,点 N 的运动速度为$\frac{24}{5}$厘米/秒.