1.实数$a$，$b$在数轴上对应的点的位置如图所示，则$\sqrt{(a-b)^2} + |a+b| - \sqrt[3]{b^3}$化简的结果为（
A.$2a+b$
B.$-b$
C.$2a-b$
D.$-3b$
D
）.A.$2a+b$
B.$-b$
C.$2a-b$
D.$-3b$
答案：1.D [解析]由实数 $a,b$ 在数轴上对应的点的位置可知,$a＞0,b＜0,且|a|＜|b|,\therefore a-b＞0,a+b＜0,$
$\therefore \sqrt{(a-b)^2} + |a+b| - \sqrt[3]{b^3}=(a-b)-(a+b)-b=a-b-a-b-b=-3b$. 故选 D.
$\therefore \sqrt{(a-b)^2} + |a+b| - \sqrt[3]{b^3}=(a-b)-(a+b)-b=a-b-a-b-b=-3b$. 故选 D.
拓展1.1 已知$a,b,c$在数轴上位置如图所示，化简$\sqrt{a^2} - |a + b| + \sqrt{(c - a)^2} + |b + c| + \sqrt[3]{b^3} =$
$-a + b$
答案：$-a + b$ [解析]由题图可知,$b＜a＜0＜c,|b|＞|c|＞|a|,\therefore a+b＜0,c-a＞0,b+c＜0,$
$\therefore \sqrt{a^2} - |a + b| + \sqrt{(c - a)^2} + |b + c| + \sqrt[3]{b^3} = -a + a + b + c - a - b - c + b = -a + b.$
$\therefore \sqrt{a^2} - |a + b| + \sqrt{(c - a)^2} + |b + c| + \sqrt[3]{b^3} = -a + a + b + c - a - b - c + b = -a + b.$
拓展1.2 已知实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示：
(1)化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a+b)^2}$；
(2)若实数$a,b$满足$|a + 4| + \sqrt{b - a -5} = 0$，求$-a^2 -11b$的立方根。
(1)化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a+b)^2}$；
(2)若实数$a,b$满足$|a + 4| + \sqrt{b - a -5} = 0$，求$-a^2 -11b$的立方根。
答案：(1)由数轴可知,$a＜-2,0＜b＜2,\therefore a+b＜0,$
$\therefore \sqrt{b^2} - \sqrt{(a+b)^2}=|b|-|a+b|=b+a+b=2b+a.$
(2)$\because |a+4|+\sqrt{b-a-5}=0,\therefore a+4=0,b-a-5=0,$
$\therefore a=-4,b=1,\therefore -a^2-11b=-(-4)^2-11×1=-27,$
$\therefore$其立方根为$\sqrt[3]{-27}=-3.$
$\therefore \sqrt{b^2} - \sqrt{(a+b)^2}=|b|-|a+b|=b+a+b=2b+a.$
(2)$\because |a+4|+\sqrt{b-a-5}=0,\therefore a+4=0,b-a-5=0,$
$\therefore a=-4,b=1,\therefore -a^2-11b=-(-4)^2-11×1=-27,$
$\therefore$其立方根为$\sqrt[3]{-27}=-3.$
2.[阅读理解]大家知道，$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这
个数减去其整数部分，差就是小数部分.
[解决问题](1)$\sqrt{23}$的整数部分是
(2)$m$，$n$分别是$\sqrt{13}$的整数部分和小数部分，求$2m - n + \sqrt{13}$的值；
(3)若$7+\sqrt{13}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，则$x-y$的值是
个数减去其整数部分，差就是小数部分.
[解决问题](1)$\sqrt{23}$的整数部分是
4
，小数部分是$\sqrt{23}-4$
；(2)$m$，$n$分别是$\sqrt{13}$的整数部分和小数部分，求$2m - n + \sqrt{13}$的值；
(3)若$7+\sqrt{13}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，则$x-y$的值是
$13-\sqrt{13}$
(直接写出).答案：(1)$4$ $\sqrt{23}-4$
(2)$\because 3^2=9,4^2=16,9＜13＜16,\therefore 3＜\sqrt{13}＜4,$
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$m=3$,小数部分为$n=\sqrt{13}-3,$
$\therefore 2m-n+\sqrt{13}=2×3-(\sqrt{13}-3)+\sqrt{13}=9.$
(3)$13-\sqrt{13}$ [解析]$\because 3＜\sqrt{13}＜4,\therefore 10＜7+\sqrt{13}＜11.$
$\because 7+\sqrt{13}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1,$
$\therefore x=10,y=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3,$
$\therefore x-y=10-(\sqrt{13}-3)=13-\sqrt{13}.$
(2)$\because 3^2=9,4^2=16,9＜13＜16,\therefore 3＜\sqrt{13}＜4,$
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$m=3$,小数部分为$n=\sqrt{13}-3,$
$\therefore 2m-n+\sqrt{13}=2×3-(\sqrt{13}-3)+\sqrt{13}=9.$
(3)$13-\sqrt{13}$ [解析]$\because 3＜\sqrt{13}＜4,\therefore 10＜7+\sqrt{13}＜11.$
$\because 7+\sqrt{13}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1,$
$\therefore x=10,y=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3,$
$\therefore x-y=10-(\sqrt{13}-3)=13-\sqrt{13}.$
拓展2.1 因为$\sqrt{3}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{3}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小刚用$\sqrt{3}-1$来表示$\sqrt{3}$的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的。因为$\sqrt{3}$的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分。例如：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(1)如果$\sqrt{10}$的小数部分为$m$，$\sqrt{17}$的整数部分为$n$，求$m+n-\sqrt{10}$的值；
(2)已知$8+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$2x+(\sqrt{3}-y)^{2026}$的值。
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(1)如果$\sqrt{10}$的小数部分为$m$，$\sqrt{17}$的整数部分为$n$，求$m+n-\sqrt{10}$的值；
(2)已知$8+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$2x+(\sqrt{3}-y)^{2026}$的值。
答案：(1)$\because \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,即$3＜\sqrt{10}＜4,$
$\therefore \sqrt{10}$的整数部分是3,小数部分为$m=\sqrt{10}-3.$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{17}＜5,$
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是$n=4,$
$\therefore m+n-\sqrt{10}=\sqrt{10}-3+4-\sqrt{10}=1.$
(2)$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{3}＜2,$
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{3}-1.$
$\because 8+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1,$
$\therefore x=9,y=\sqrt{3}-1,\therefore 2x+(\sqrt{3}-y)^{2026}=2×9+(\sqrt{3}-\sqrt{3}+1)^{2026}=18+1=19.$
$\therefore \sqrt{10}$的整数部分是3,小数部分为$m=\sqrt{10}-3.$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{17}＜5,$
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是$n=4,$
$\therefore m+n-\sqrt{10}=\sqrt{10}-3+4-\sqrt{10}=1.$
(2)$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,即$1＜\sqrt{3}＜2,$
$\therefore \sqrt{3}$的整数部分是1,小数部分是$\sqrt{3}-1.$
$\because 8+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1,$
$\therefore x=9,y=\sqrt{3}-1,\therefore 2x+(\sqrt{3}-y)^{2026}=2×9+(\sqrt{3}-\sqrt{3}+1)^{2026}=18+1=19.$
拓展2.2 阅读材料:一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数,小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值.例如:1.4的整数部分为1,小数部分为1.4−1=0.4;$\sqrt{3}$的整数部分为1,小数部分为$\sqrt{3}−1$;再如,−3.8的整数部分为−4,小数部分为−3.8−(−4)=0.2.由此得到:若$\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,则$x=1,y=\sqrt{3}−1$.根据材料,回答下列问题:(1)若$\sqrt{7}=m+n$,其中$m$是整数,且$0＜n＜1$,则$m=$
2
,$n=$$\sqrt{7}-2$
;(2)若$4+\sqrt{26}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1$,求$p−q$的值;(3)若$8−a=b+\sqrt{17}$,其中$a$是整数,且$0＜b＜1$,求$|b−a|+(b+1)$的值.答案：(1)$2$ $\sqrt{7}-2$
(2)$\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$,即$5＜\sqrt{26}＜6,$
$\therefore 9＜4+\sqrt{26}＜10$,即$4+\sqrt{26}$的整数部分为9,小数部分为$4+\sqrt{26}-9=\sqrt{26}-5.$
$\because 4+\sqrt{26}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1,\therefore p=9,q=\sqrt{26}-5,\therefore p-q=9-\sqrt{26}+5=14-\sqrt{26}.$
(3)$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{17}＜5,$
$\therefore -5＜-\sqrt{17}＜-4,\therefore 3＜8-\sqrt{17}＜4$,即$8-\sqrt{17}$的整数部分为3,小数部分为$8-\sqrt{17}-3=5-\sqrt{17}.$
$\because 8-a=b+\sqrt{17}$,即$8-\sqrt{17}=a+b$,其中$a$是整数,且$0＜b＜1,\therefore a=3,b=5-\sqrt{17},$
$\therefore |b-a|+(b+1)=|5-\sqrt{17}-3|+5-\sqrt{17}+1=4.$
(2)$\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$,即$5＜\sqrt{26}＜6,$
$\therefore 9＜4+\sqrt{26}＜10$,即$4+\sqrt{26}$的整数部分为9,小数部分为$4+\sqrt{26}-9=\sqrt{26}-5.$
$\because 4+\sqrt{26}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1,\therefore p=9,q=\sqrt{26}-5,\therefore p-q=9-\sqrt{26}+5=14-\sqrt{26}.$
(3)$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{17}＜5,$
$\therefore -5＜-\sqrt{17}＜-4,\therefore 3＜8-\sqrt{17}＜4$,即$8-\sqrt{17}$的整数部分为3,小数部分为$8-\sqrt{17}-3=5-\sqrt{17}.$
$\because 8-a=b+\sqrt{17}$,即$8-\sqrt{17}=a+b$,其中$a$是整数,且$0＜b＜1,\therefore a=3,b=5-\sqrt{17},$
$\therefore |b-a|+(b+1)=|5-\sqrt{17}-3|+5-\sqrt{17}+1=4.$