3.通过观察后再回答问题.
(1)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$数位的规律,并利用这个规律解决问题:
已知$\sqrt{7}\approx2.65,\sqrt{70}\approx8.37$,则$\sqrt{700}\approx$
(2)已知$\sqrt{m}=12.34,\sqrt{n}=1.234$,用含$m$的代数式表示$n$(请写出解答过程).
(1)从表格中探究$a$与$\sqrt{a}$数位的规律,并利用这个规律解决问题:
已知$\sqrt{7}\approx2.65,\sqrt{70}\approx8.37$,则$\sqrt{700}\approx$
26.5
;(2)已知$\sqrt{m}=12.34,\sqrt{n}=1.234$,用含$m$的代数式表示$n$(请写出解答过程).
答案：(1)$26.5$
(2)$\because \sqrt{m}=12.34,\sqrt{n}=1.234,\therefore \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=10,$
$\therefore \frac{m}{n}=100,\therefore n=\frac{m}{100}.$
(2)$\because \sqrt{m}=12.34,\sqrt{n}=1.234,\therefore \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=10,$
$\therefore \frac{m}{n}=100,\therefore n=\frac{m}{100}.$
拓展3.1 问题情境:学习实数之后,在数学活动课上,王老师出示了一组有规律的算式.仔细观察下列算式,并探求规律:
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$，$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$，$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$，$···$.
实践探究:
(1)按照此规律,①计算:$\sqrt{1-\frac{17}{81}}=$
②第$n$个式子是
(2)计算:$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \sqrt{1-\frac{9}{25}} × ··· × \sqrt{1-\frac{31}{256}}$.
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$，$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$，$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$，$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$，$···$.
实践探究:
(1)按照此规律,①计算:$\sqrt{1-\frac{17}{81}}=$
$\frac{8}{9}$
；②第$n$个式子是
$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$
(用含$n$的式子表示，$n≥1$且为整数)；(2)计算:$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \sqrt{1-\frac{9}{25}} × ··· × \sqrt{1-\frac{31}{256}}$.
答案：(1)①$\frac{8}{9}$
②$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$ [解析]第一个式子为$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{1-\frac{2×1+1}{2^2}}=\frac{1}{2},$
第二个式子为$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{1-\frac{2×2+1}{3^2}}=\frac{2}{3},$
第三个式子为$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{1-\frac{2×3+1}{4^2}}=\frac{3}{4},$
第四个式子为$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{1-\frac{2×4+1}{5^2}}=\frac{4}{5},\dots,$
那么第$n$个式子是$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}.$
(2)$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \sqrt{1-\frac{9}{25}} × \dots × \sqrt{1-\frac{31}{256}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\dots×\frac{15}{16}=\frac{1}{16}.$
②$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$ [解析]第一个式子为$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{1-\frac{2×1+1}{2^2}}=\frac{1}{2},$
第二个式子为$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{1-\frac{2×2+1}{3^2}}=\frac{2}{3},$
第三个式子为$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{1-\frac{2×3+1}{4^2}}=\frac{3}{4},$
第四个式子为$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{1-\frac{2×4+1}{5^2}}=\frac{4}{5},\dots,$
那么第$n$个式子是$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}.$
(2)$\sqrt{1-\frac{3}{4}} × \sqrt{1-\frac{5}{9}} × \sqrt{1-\frac{7}{16}} × \sqrt{1-\frac{9}{25}} × \dots × \sqrt{1-\frac{31}{256}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\dots×\frac{15}{16}=\frac{1}{16}.$