8. (2025·南京期末)如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA//FB,EC//FD,EA=FB. 求证:AB=CD. 
（第8题）
（第8题）答案：8.$\because EA// FB,\therefore ∠A=∠FBD.$
$\because EC// FD,\therefore ∠D=∠ECA.$
在$△ EAC$ 和$△ FBD$ 中,$\begin{cases} ∠ECA=∠D, \\ ∠A=∠FBD, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ EAC≌ △ FBD(\mathrm{AAS}),\therefore AC=BD,$
$\therefore AB+BC=BC+CD,\therefore AB=CD.$
$\because EC// FD,\therefore ∠D=∠ECA.$
在$△ EAC$ 和$△ FBD$ 中,$\begin{cases} ∠ECA=∠D, \\ ∠A=∠FBD, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ EAC≌ △ FBD(\mathrm{AAS}),\therefore AC=BD,$
$\therefore AB+BC=BC+CD,\therefore AB=CD.$
9. (2026·湖南邵阳五中期末)如图，AD与BE相交于点F，BD与CE相交于点G，$∠ D = ∠ E$，$∠ CBD = ∠ ABE$，$BA = BC$. 求证：$△ ABD ≌ △ CBE$. 
(第9题)
(第9题)答案：9.$\because ∠CBD=∠ABE,$
$\therefore ∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE,$
$\therefore ∠ABD=∠CBE.$
在$△ ABD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠D=∠E, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BA=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore ∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE,$
$\therefore ∠ABD=∠CBE.$
在$△ ABD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠D=∠E, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BA=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).$
10. 一线三等角模型 如图，点 C 在 BD 上，AB ⊥ BD，ED ⊥ BD，AC ⊥ CE，AB = CD. 求证：△ABC≌△CDE. 
答案：10.$\because AB⊥ BD,ED⊥ BD,AC⊥ CE,$
$\therefore ∠B=∠D=∠ACE=90°,$
$\therefore ∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCA=∠DEC.$
在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} ∠BCA=∠DEC, \\ ∠B=∠D, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore ∠B=∠D=∠ACE=90°,$
$\therefore ∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCA=∠DEC.$
在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} ∠BCA=∠DEC, \\ ∠B=∠D, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
11. 如图(1),在$△ ABC$中,$∠ A=∠ ABC$,延长$AC$到$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$,延长$CB$到$G$,过点$G$作$GH ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$H$,且$EF=GH$.
(1)求证:$△ AEF ≌ △ BGH$;
(2)如图(2),连接$EG$与$FH$相交于点$D$,若$AB=4$,求$DH$的长.
(1)求证:$△ AEF ≌ △ BGH$;
(2)如图(2),连接$EG$与$FH$相交于点$D$,若$AB=4$,求$DH$的长.
答案：11.(1)$\because ∠A=∠ABC,∠ABC=∠GBH,$
$\therefore ∠A=∠GBH.$
$\because EF⊥ AB,GH⊥ AB,\therefore ∠AFE=∠BHG.$
在$△ AEF$ 和$△ BGH$ 中,$\begin{cases} ∠A=∠GBH, \\ ∠AFE=∠H, \\ EF=GH, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌ △ BGH(\mathrm{AAS}).$
(2)$\because △ AEF≌ △ BGH,$
$\therefore AF=BH,$
$\therefore AB=FH=4.$
$\because EF⊥ AB,GH⊥ AB,\therefore ∠EFD=∠GHD.$
在$△ EFD$ 和$△ GHD$ 中,$\begin{cases} ∠EFD=∠GHD, \\ ∠EDF=∠GDH, \\ EF=GH, \end{cases}$
$\therefore △ EFD≌ △ GHD(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DH=DF=\frac{1}{2}FH=\frac{1}{2}AB=2.$
$\therefore ∠A=∠GBH.$
$\because EF⊥ AB,GH⊥ AB,\therefore ∠AFE=∠BHG.$
在$△ AEF$ 和$△ BGH$ 中,$\begin{cases} ∠A=∠GBH, \\ ∠AFE=∠H, \\ EF=GH, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌ △ BGH(\mathrm{AAS}).$
(2)$\because △ AEF≌ △ BGH,$
$\therefore AF=BH,$
$\therefore AB=FH=4.$
$\because EF⊥ AB,GH⊥ AB,\therefore ∠EFD=∠GHD.$
在$△ EFD$ 和$△ GHD$ 中,$\begin{cases} ∠EFD=∠GHD, \\ ∠EDF=∠GDH, \\ EF=GH, \end{cases}$
$\therefore △ EFD≌ △ GHD(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DH=DF=\frac{1}{2}FH=\frac{1}{2}AB=2.$
12. (2025·云南中考)如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D.求证:△AOC≌△BOD.
答案：12. 在$△ AOC$ 和$△ BOD$ 中,$\begin{cases} ∠C=∠D, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌ △ BOD(\mathrm{AAS}).$
思路引导 根据已知条件 $AC=BD,∠C=∠D$,结合$∠AOC=∠BOD$,利用“AAS”证明即可.
$\therefore △ AOC≌ △ BOD(\mathrm{AAS}).$
思路引导 根据已知条件 $AC=BD,∠C=∠D$,结合$∠AOC=∠BOD$,利用“AAS”证明即可.