9. (2025·昆明十中模拟)如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ A=∠ B$，$AE=BE$，点D在边AC上，AE与BD相交于点O. 求证：$△ AEC≌△ BED$. 
(第9题)
(第9题)答案：9.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED,即∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ AE=BE, \\ ∠AEC=∠BED, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA).
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED,即∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,$\begin{cases} ∠A=∠B, \\ AE=BE, \\ ∠AEC=∠BED, \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA).
10.(2026·福建泉州晋江期末)求证:全等三角形的对应角的平分线相等.
已知:如图，
求证:
证明:
已知:如图，
$△ABC≌△A'B'C'$
，AD,A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.求证:
$AD=A'D'$
；证明:
答案：10. $△ABC≌△A'B'C'$ $AD=A'D'$
∵$△ABC≌△A'B'C'$,
∴∠B=∠B',AB=A'B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD和△B'A'D'中,$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(ASA),
∴AD=A'D'.
∵$△ABC≌△A'B'C'$,
∴∠B=∠B',AB=A'B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD和△B'A'D'中,$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(ASA),
∴AD=A'D'.
11. 新考法 操作探究 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AC=2AB$,$D$是$AC$的中点,将一块锐角为$45°$的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与$A$,$D$重合,连接$BE$,$EC$.试猜想线段$BE$和$EC$的数量及位置关系,并证明你的猜想.
答案：11. BE=EC,BE⊥EC.证明如下:
∵AC=2AB,D是AC的中点,
∴AB=AD=DC.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠EAB=∠EDC, \\ EA=ED, \end{cases}$
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC,
∴∠BEC=∠AED=90°,
∴BE=EC,BE⊥EC.
∵AC=2AB,D是AC的中点,
∴AB=AD=DC.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠EAB=∠EDC, \\ EA=ED, \end{cases}$
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC,
∴∠BEC=∠AED=90°,
∴BE=EC,BE⊥EC.
12. (2024·云南中考)如图,在$△ ABC$ 和$△ AED$中,
$AB = AE$, $∠ BAE = ∠ CAD$, $AC = AD$.
求证:$△ ABC≌△ AED$.
$AB = AE$, $∠ BAE = ∠ CAD$, $AC = AD$.
求证:$△ ABC≌△ AED$.
答案：12.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS).
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS).