11. 如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中$AD=10$，$CD=2$，则下列可作为$AB$长度的是(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
).A.5
B.4
C.3
D.2
答案：由题图可知,$AD=AB+BC+CD$.
∵$AD=10,CD=2$,
∴$AB+BC=8$.
设$AB=x$,则$BC=8-x$.
由三角形三边关系,得$\begin{cases}8-x＜x+2,\\8-x＞x-2,\end{cases}$
解得$3＜x＜5$,
∴$AB$的长度可以是4. 故选B.
解答本题时需要根据题图得出$AD=AB+BC+CD$,再根据$AD=10,CD=2$,得出$AB+BC=8$,然后设$AB=x$,得出$BC=8-x$,最后根据三角形的三边关系列出不等式组,求得$AB$的取值范围,然后求出问题的答案.
∵$AD=10,CD=2$,
∴$AB+BC=8$.
设$AB=x$,则$BC=8-x$.
由三角形三边关系,得$\begin{cases}8-x＜x+2,\\8-x＞x-2,\end{cases}$
解得$3＜x＜5$,
∴$AB$的长度可以是4. 故选B.
解答本题时需要根据题图得出$AD=AB+BC+CD$,再根据$AD=10,CD=2$,得出$AB+BC=8$,然后设$AB=x$,得出$BC=8-x$,最后根据三角形的三边关系列出不等式组,求得$AB$的取值范围,然后求出问题的答案.
12.（2025·南京二十九中月考）在$△ ABC$中，已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，则$∠ A$
＜
$∠ C$.（填“＞”“=”或“＜”）答案：
∵$AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
∴$AB＞BC$.
∵$AB$所对的角是$∠ C$,$BC$所对的角是$∠ A$,
∴$∠ A ＜ ∠ C$.
三角形中大边对大角
∵$AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
∴$AB＞BC$.
∵$AB$所对的角是$∠ C$,$BC$所对的角是$∠ A$,
∴$∠ A ＜ ∠ C$.
三角形中大边对大角
13. 如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为
5或7
cm.答案：设这个三角形的第三边长为$x\ \mathrm{cm}$,
∴$6-3＜x＜6+3$,
∴$3＜x＜9$.
∵第三边长是奇数,
∴这个三角形的第三边长为5 cm或7 cm.
∴$6-3＜x＜6+3$,
∴$3＜x＜9$.
∵第三边长是奇数,
∴这个三角形的第三边长为5 cm或7 cm.
14. (2026·安徽合肥长丰期末)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.
(1)若$a,b$满足$(a-3)^2 + |b-5|=0$,求整数$c$的最小值；
(2)化简:$|b+c-a| + |c-a-b| - |a - b + c|.$
(1)若$a,b$满足$(a-3)^2 + |b-5|=0$,求整数$c$的最小值；
(2)化简:$|b+c-a| + |c-a-b| - |a - b + c|.$
答案：(1)
∵$(a-3)^2 + |b-5|=0$,
∴$a-3=0,b-5=0$,
∴$a=3,b=5$,
由三角形三边关系定理得到$5-3＜c＜5+3$,
∴$2＜c＜8$,
∴整数$c$的最小值是3.
(2)由三角形三边关系得到$b+c＞a,a+b＞c,a+c＞b$,
∴$b+c-a＞0,c-a-b＜0,a-b+c＞0$,
∴$|b+c-a| + |c-a-b| - |a - b + c|$
$=b+c-a+[-(c-a-b)]-(a-b+c)$
$=b+c-a-c+a+b-a+b-c$
$=-a+3b-c$.
∵$(a-3)^2 + |b-5|=0$,
∴$a-3=0,b-5=0$,
∴$a=3,b=5$,
由三角形三边关系定理得到$5-3＜c＜5+3$,
∴$2＜c＜8$,
∴整数$c$的最小值是3.
(2)由三角形三边关系得到$b+c＞a,a+b＞c,a+c＞b$,
∴$b+c-a＞0,c-a-b＜0,a-b+c＞0$,
∴$|b+c-a| + |c-a-b| - |a - b + c|$
$=b+c-a+[-(c-a-b)]-(a-b+c)$
$=b+c-a-c+a+b-a+b-c$
$=-a+3b-c$.
15. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边AB上一点.
(1)通过度量$AB,CD,DB$的长度,确定$AB$与$\frac{1}{2}(CD+DB)$的大小关系;
(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的.
(1)通过度量$AB,CD,DB$的长度,确定$AB$与$\frac{1}{2}(CD+DB)$的大小关系;
(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的.
答案：(1)$AB＞\frac{1}{2}(CD+DB)$.
(2)
∵在$△ ADC$中,$AD+AC＞CD$,
∴$(AD+DB)+AC＞CD+DB$,
即$AB+AC＞CD+DB$.
又$AB=AC$,
∴$2AB＞CD+DB$,
∴$AB＞\frac{1}{2}(CD+DB)$.
(2)
∵在$△ ADC$中,$AD+AC＞CD$,
∴$(AD+DB)+AC＞CD+DB$,
即$AB+AC＞CD+DB$.
又$AB=AC$,
∴$2AB＞CD+DB$,
∴$AB＞\frac{1}{2}(CD+DB)$.
16. 分类讨论思想，若三边均不相等的三角形的三边$a,b,c$满足$a-b＞b-c$($a$为最长边，$c$为最短边)，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边分别为7,5,4，因为$7-5＞5-4$，所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为
①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为$2x+2$，16,$2x-6$，直接写出$x$的整数值为
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为
②
.(填序号)①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为$2x+2$，16,$2x-6$，直接写出$x$的整数值为
10或12或13或14
.答案：(1)②
(2)10或12或13或14 解析:①当16为最长边长时,由题意,得$16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6)$,解得$x＜3$.
∵$2x-6＞0$,
∴$x＞3$.故互相矛盾,舍去;
②当16为中间边长时,由题意,得$2x+2＞16＞2x-6$,解得$7＜x＜11$.
∵$2x+2-16＞16-(2x-6)$,解得$x＞9$,
∴$9＜x＜11$.
∵$x$为整数,
∴$x=10$.
经检验,当$x=10$时,22,16,14可以构成三角形;
③当16为最短边长时,由题意,得$2x-6＞16$,解得$x＞11$.
∵$2x+2-(2x-6)＞2x-6-16$,解得$x＜15$,
∴$11＜x＜15$.
∵$x$为整数,
∴$x=12$或13或14.
经检验,$x=12,13,14$时都可以构成三角形.
综上所述,$x$的整数值为10或12或13或14.
(2)10或12或13或14 解析:①当16为最长边长时,由题意,得$16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6)$,解得$x＜3$.
∵$2x-6＞0$,
∴$x＞3$.故互相矛盾,舍去;
②当16为中间边长时,由题意,得$2x+2＞16＞2x-6$,解得$7＜x＜11$.
∵$2x+2-16＞16-(2x-6)$,解得$x＞9$,
∴$9＜x＜11$.
∵$x$为整数,
∴$x=10$.
经检验,当$x=10$时,22,16,14可以构成三角形;
③当16为最短边长时,由题意,得$2x-6＞16$,解得$x＞11$.
∵$2x+2-(2x-6)＞2x-6-16$,解得$x＜15$,
∴$11＜x＜15$.
∵$x$为整数,
∴$x=12$或13或14.
经检验,$x=12,13,14$时都可以构成三角形.
综上所述,$x$的整数值为10或12或13或14.
17. 转化思想（2025·四川广元期末）将$a$克糖放入水中，得到$b$克糖水，此时糖水的浓度为$\frac{a}{b}(b＞a＞0)$.
(1)再往杯中加入$m(m＞0)$克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在$△ ABC$中，三条边的长度分别为$a$，$b$，$c$，求证：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.
(1)再往杯中加入$m(m＞0)$克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为
$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$
；(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在$△ ABC$中，三条边的长度分别为$a$，$b$，$c$，求证：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.
答案：(1)$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$
(2)利用作差法比较大小：
$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)}{b(b+m)}-\frac{a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{bm-am}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}$.
∵$m＞0,b＞a＞0$,
∴$b-a＞0,b+m＞0$,即$\frac{m(b-a)}{b(b+m)}＞0$,
∴$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}＞0$,即$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$.
(3)在$△ ABC$中,$a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b$,且$a＞0$,$b＞0,c＞0$,
∴$\frac{a}{b+c}＜1$,$\frac{b}{c+a}＜1$,$\frac{c}{a+b}＜1$.
由糖水不等式可得$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{b+c+a}$,$\frac{b}{c+a}＜\frac{b+b}{c+a+b}$,$\frac{c}{b+a}＜\frac{c+c}{a+b+c}$,
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜\frac{a+a}{b+c+a}+\frac{b+b}{c+a+b}+\frac{c+c}{a+b+c}=2$,
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.
(2)利用作差法比较大小：
$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)}{b(b+m)}-\frac{a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{bm-am}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}$.
∵$m＞0,b＞a＞0$,
∴$b-a＞0,b+m＞0$,即$\frac{m(b-a)}{b(b+m)}＞0$,
∴$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}＞0$,即$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$.
(3)在$△ ABC$中,$a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b$,且$a＞0$,$b＞0,c＞0$,
∴$\frac{a}{b+c}＜1$,$\frac{b}{c+a}＜1$,$\frac{c}{a+b}＜1$.
由糖水不等式可得$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{b+c+a}$,$\frac{b}{c+a}＜\frac{b+b}{c+a+b}$,$\frac{c}{b+a}＜\frac{c+c}{a+b+c}$,
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜\frac{a+a}{b+c+a}+\frac{b+b}{c+a+b}+\frac{c+c}{a+b+c}=2$,
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.