1. 教材P8练习T2·变式（2025·福建福州闽侯期中）
△ABC的三条高如图所示，边AC上的高是（
A.AE
B.AD
C.CE
D.BF
△ABC的三条高如图所示，边AC上的高是（
D
）。A.AE
B.AD
C.CE
D.BF
答案：1. D [解析]线段 BF 是边 AC 上的高.故选 D.
2. (2025·扬州邗江区期中)如图，AD是$△ ABC$的中线，CE是$△ ACD$的中线，若$△ ABC$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，则$△ CDE$的面积为(
A.$10\ \mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm}^2$
C.$5\ \mathrm{cm}^2$
D.$4\ \mathrm{cm}^2$
C
).A.$10\ \mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm}^2$
C.$5\ \mathrm{cm}^2$
D.$4\ \mathrm{cm}^2$
答案：2. C [解析]
∵AD 是$△ ABC$的中线，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$.
∵CE 是$△ ACD$的中线，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=5\ \mathrm{cm}^2$.故选 C.
∵AD 是$△ ABC$的中线，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$.
∵CE 是$△ ACD$的中线，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=5\ \mathrm{cm}^2$.故选 C.
3. 教材P8例2·变式（2025·吉林长春九台区期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
B
）.A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
答案：3. B
4. (2026·湖北潜江期末)如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的中线,$△ ADC$的周长比$△ ABD$的周长多5 cm,若$AB=13$ cm,则AC的长为
18
cm.答案：4. 18 [解析]
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴CD=BD.
∵$△ ADC$ 的周长比$△ ABD$ 的周长多 5 cm，
∴$(AC+CD+AD)-(AB+BD+AD)=AC-AB=5\ \mathrm{cm}.\because AB=13\ \mathrm{cm},\therefore AC=18\ \mathrm{cm}.$
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴CD=BD.
∵$△ ADC$ 的周长比$△ ABD$ 的周长多 5 cm，
∴$(AC+CD+AD)-(AB+BD+AD)=AC-AB=5\ \mathrm{cm}.\because AB=13\ \mathrm{cm},\therefore AC=18\ \mathrm{cm}.$
5. (2026·云南保山龙陵三中期末)如图,在三角形ABC中,D为边BC上的一点,E,F分别为AD,BE的中点,且$S_{△ ABC}=16\ \mathrm{cm}^2$,则图中涂色部分的面积是
4
$\mathrm{cm}^2$.答案：5. 4 [解析]
∵E 为 AD 的中点，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ BCE}=2:1.$
∵F 为 BE 的中点，
∴$S_{△ BCE}:S_{△ EFC}=2:1.$
∵$S_{△ ABC}=16\ \mathrm{cm}^2,\therefore S_{△ EFC}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4} × 16=4(\mathrm{cm}^2).$ 故题图中涂色部分的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$.
∵E 为 AD 的中点，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ BCE}=2:1.$
∵F 为 BE 的中点，
∴$S_{△ BCE}:S_{△ EFC}=2:1.$
∵$S_{△ ABC}=16\ \mathrm{cm}^2,\therefore S_{△ EFC}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4} × 16=4(\mathrm{cm}^2).$ 故题图中涂色部分的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$.
6. (2026·贵州黔东南州期末)如图,在$△ ABC$中,AD,AE,AF分别是$△ ABC$的高、角平分线、中线.
(1)若$△ ABF$的面积为6,则$△ ABC$的面积为
(2)当$∠ B=30°,∠ C=50°$时,求$∠ DAE$的度数.
(1)若$△ ABF$的面积为6,则$△ ABC$的面积为
12
.(2)当$∠ B=30°,∠ C=50°$时,求$∠ DAE$的度数.
答案：6. (1)12 [解析]
∵AF 是$△ ABC$ 的中线，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}=2× 6=12.$
(2)
∵$∠ B=30°,∠ C=50°.$
∴$∠ BAC=180°-30°-50°=100°,$
∵AE 是$△ ABC$ 的角平分线，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2} × 100°=50°.$
∵AD 是$△ ABC$ 的高，
∴$∠ ADC=90°,$
∴$∠ CAD=90°-∠ C=90°-50°=40°,$
∴$∠ DAE=∠ CAE-∠ CAD=50°-40°=10°.$
∵AF 是$△ ABC$ 的中线，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}=2× 6=12.$
(2)
∵$∠ B=30°,∠ C=50°.$
∴$∠ BAC=180°-30°-50°=100°,$
∵AE 是$△ ABC$ 的角平分线，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2} × 100°=50°.$
∵AD 是$△ ABC$ 的高，
∴$∠ ADC=90°,$
∴$∠ CAD=90°-∠ C=90°-50°=40°,$
∴$∠ DAE=∠ CAE-∠ CAD=50°-40°=10°.$
7. 下列说法错误的是(
A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
C
).A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
答案：7. C [解析]A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，故本选项说法正确；B. 钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确；C. 直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误；D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，故本选项说法正确.故选 C.
归纳总结 三角形的高、中线和角平分线，只有高可能在三角形的外部，中线、角平分线都在三角形的内部.
归纳总结 三角形的高、中线和角平分线，只有高可能在三角形的外部，中线、角平分线都在三角形的内部.
8. 等积法（2025·福建福州仓山区期末）如图，在$△ ABC$中，AD，AE分别是边BC上的中线、高线，过点D作$DF ⊥ AB$于点F，若$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{DF}{AE}$的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
C
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：8. C [解析]
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴BD=DC.
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{4}{3}.\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DF=\frac{1}{2}BD · AE,\therefore \frac{DF}{AE}=\frac{3}{4}.$ 故选 C.
∵AD 是边 BC 上的中线，
∴BD=DC.
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{4}{3}.\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DF=\frac{1}{2}BD · AE,\therefore \frac{DF}{AE}=\frac{3}{4}.$ 故选 C.
9.（2025·常州月考）如图，在$△ ABC$中，AD是$△ ABC$的中线，$AE⊥ BC$于点E。若$△ ABC$的面积为24，$AE=6$，则BD的长为
4
。答案：9. 4 [解析]
∵AD 为边 BC 上的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 24=12,$
∴$\frac{1}{2}BD · AE=12. \because AE=6,\therefore BD=4.$
∵AD 为边 BC 上的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 24=12,$
∴$\frac{1}{2}BD · AE=12. \because AE=6,\therefore BD=4.$
10.在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$D$，$E$是边$BC$上的两点，且$BD＜BE$，有下列四个推断：
①若$AD$是$△ ABC$的高，则$AE$可能是$△ ABC$的中线；
②若$AD$是$△ ABC$的中线，则$AE$可能是$△ ABC$的高；
③若$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$AE$可能是$△ ABC$的中线；
④若$AD$是$△ ABC$的高，则$AE$不可能是$△ ABC$的角平分线。
上述推断中所有正确结论的序号是________。
①若$AD$是$△ ABC$的高，则$AE$可能是$△ ABC$的中线；
②若$AD$是$△ ABC$的中线，则$AE$可能是$△ ABC$的高；
③若$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$AE$可能是$△ ABC$的中线；
④若$AD$是$△ ABC$的高，则$AE$不可能是$△ ABC$的角平分线。
上述推断中所有正确结论的序号是________。
答案：10. ②④ [解析]①
∵AB＞AC，AD 是$△ ABC$ 的高，
∴AE 不可能是$△ ABC$ 的中线，此推断错误；②AD 是$△ ABC$ 的中线，则 AE 可能是$△ ABC$ 的高，此推断正确；③AD 是$△ ABC$ 的角平分线，则 AE 不可能是$△ ABC$ 的中线，此推断错误；④AD 是$△ ABC$ 的高，则 AE 不可能是$△ ABC$ 的角平分线，此推断正确.故所有正确结论的序号为②④.
∵AB＞AC，AD 是$△ ABC$ 的高，
∴AE 不可能是$△ ABC$ 的中线，此推断错误；②AD 是$△ ABC$ 的中线，则 AE 可能是$△ ABC$ 的高，此推断正确；③AD 是$△ ABC$ 的角平分线，则 AE 不可能是$△ ABC$ 的中线，此推断错误；④AD 是$△ ABC$ 的高，则 AE 不可能是$△ ABC$ 的角平分线，此推断正确.故所有正确结论的序号为②④.