11.在$△ ABC$中，D是BC的中点，$AB=12$，$AC=8$.用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，则它们周长的差为________；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则$AE=\_\_\_\_\_\_$.
答案：
11. 4 1或3 [解析]如图(1)，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=CD，
∴$△ ABD$ 的周长$-△ ACD$ 的周长$=AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=4$，
如图(2)，设$AE=x$，则$BE=12-x$，
①当四边形 ACDE 的周长$-△ BDE$ 的周长$=2$时，
即$AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2$，
整理，得$AE+AC-BE=2$，
∴$x+8-(12-x)=2,$ 解得$x=3$；
②当$△ BDE$ 的周长$-$四边形 ACDE 的周长$=2$时，
即$BE+BD+DE-(AE+ED+CD+AC)=2$，
整理，得$BE-AE-AC=2$，
∴$12-x-x-8=2,$ 解得$x=1.$
综上所述，$AE=1$ 或 3.
11. 4 1或3 [解析]如图(1)，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=CD，
∴$△ ABD$ 的周长$-△ ACD$ 的周长$=AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=4$，
如图(2)，设$AE=x$，则$BE=12-x$，
①当四边形 ACDE 的周长$-△ BDE$ 的周长$=2$时，
即$AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2$，
整理，得$AE+AC-BE=2$，
∴$x+8-(12-x)=2,$ 解得$x=3$；
②当$△ BDE$ 的周长$-$四边形 ACDE 的周长$=2$时，
即$BE+BD+DE-(AE+ED+CD+AC)=2$，
整理，得$BE-AE-AC=2$，
∴$12-x-x-8=2,$ 解得$x=1.$
综上所述，$AE=1$ 或 3.
12.（2025·广东珠海香洲区期末）如图，A，B，C分别是线段BD，CE，AF的中点，若$△ DEF$的面积为$a$，则$△ ABC$的面积为
$\frac{1}{7}a$
.（用含$a$的式子表示）答案：
12. $\frac{1}{7}a$ [解析]如图，连接 AE,CD，令$△ ABC$ 的面积为$x$，
∵B 为 CE 的中点，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}=x.$
同理可得 $S_{△ ADE} = x$，$S_{△ ACD} = S_{△ FCD} = x$，$S_{△ FCE}=2x$，
∴$S_{△ DEF}=7x.$
又$△ DEF$ 的面积为$a$，
∴$7x=a$，
则$x=\frac{1}{7}a.\therefore △ ABC$ 的面积为$\frac{1}{7}a.$
12. $\frac{1}{7}a$ [解析]如图，连接 AE,CD，令$△ ABC$ 的面积为$x$，
∵B 为 CE 的中点，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}=x.$
同理可得 $S_{△ ADE} = x$，$S_{△ ACD} = S_{△ FCD} = x$，$S_{△ FCE}=2x$，
∴$S_{△ DEF}=7x.$
又$△ DEF$ 的面积为$a$，
∴$7x=a$，
则$x=\frac{1}{7}a.\therefore △ ABC$ 的面积为$\frac{1}{7}a.$
13. (2026·甘肃武威十七中期末)如图,在$△ ABC$中, $AB=10,AC=15,BD,CE$都是$△ ABC$的高,且$BD=8$,求$CE$的长.
答案：13.
∵$AC=15,BD=8,AB=10$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{1}{2}AB · CE$，
∴$\frac{1}{2} × 15 × 8=\frac{1}{2} × 10 × CE,\therefore CE=12.$
∵$AC=15,BD=8,AB=10$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{1}{2}AB · CE$，
∴$\frac{1}{2} × 15 × 8=\frac{1}{2} × 10 × CE,\therefore CE=12.$
14. 整体思想 新考法 满足条件的结论开放 如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,
∠C=30°.
(1)求∠BAE的度数.
(2)求∠DAE的度数.
(3)探究:如果条件∠B=70°,∠C=30°改成∠B−∠C=40°,是否也能得出∠DAE的度数?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
∠C=30°.
(1)求∠BAE的度数.
(2)求∠DAE的度数.
(3)探究:如果条件∠B=70°,∠C=30°改成∠B−∠C=40°,是否也能得出∠DAE的度数?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
答案：14. (1)
∵$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-30°=80°.$
∵AE 平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=40°.$
(2)
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°.$
又$∠ ADB+∠ B+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD=180°-90°-70°=20°$，
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=40°-20°=20°.$
(3)能.理由如下:
∵$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C.$
∵AE 平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2} ×(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C).$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°.$又$∠ ADB+∠ B+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ B$，
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)-(90°-∠ B)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C).$
∵$∠ B-∠ C=40°,\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2} × 40°=20°.$
∵$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-30°=80°.$
∵AE 平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=40°.$
(2)
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°.$
又$∠ ADB+∠ B+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD=180°-90°-70°=20°$，
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=40°-20°=20°.$
(3)能.理由如下:
∵$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C.$
∵AE 平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2} ×(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C).$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°.$又$∠ ADB+∠ B+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ B$，
∴$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=90°-\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)-(90°-∠ B)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C).$
∵$∠ B-∠ C=40°,\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2} × 40°=20°.$
15. (2026·连云港海州区海宁中学月考)如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线.
(1)若∠ACB=50°,∠BAD=65°,求∠AEC的度数；
(2)若BC−AB=9,求△BCF与△BAF的周长之差.
(1)若∠ACB=50°,∠BAD=65°,求∠AEC的度数；
(2)若BC−AB=9,求△BCF与△BAF的周长之差.
答案：15. (1)
∵AD 是$△ ABC$ 的高，
∴$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-65°=25°.$
∵CE 是$△ ABC$ 的角平分线，
∴$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2} × 50°=25°$，
∴$∠ AEC=∠ ABD+∠ BCE=50°,$
→三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)
∵BF 是$△ ABC$ 的中线，
∴$AF=CF$，
∴$BC+BF+CF-(AB+AF+BF)=BC-AB=9$，
∴$△ BCF$ 与$△ BAF$ 的周长之差为 9.
∵AD 是$△ ABC$ 的高，
∴$∠ ADB=90°$，
∴$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-65°=25°.$
∵CE 是$△ ABC$ 的角平分线，
∴$∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2} × 50°=25°$，
∴$∠ AEC=∠ ABD+∠ BCE=50°,$
→三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)
∵BF 是$△ ABC$ 的中线，
∴$AF=CF$，
∴$BC+BF+CF-(AB+AF+BF)=BC-AB=9$，
∴$△ BCF$ 与$△ BAF$ 的周长之差为 9.