1. (2025·连云港中考)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(
A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
B
).A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
答案：1.B [解析]A. 1+2=3,不能构成三角形,故本选项不符合题意;B. 2+3＞4,能构成三角形,故本选项符合题意;C. 3+5=8,不能构成三角形,故本选项不符合题意;D. 5+4＜10,不能构成三角形,故本选项不符合题意.故选B.
2. (2025·吉林四平期末)在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框.
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4 cm和CD=8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度.
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4 cm和CD=8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度.
答案：2.(1)第一段的长不能为3 cm.理由如下:
根据题意,得第一段长为a cm,第二段的长为(3a-2)cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=(14-4a)cm,
当a=3时,3a-2=7,14-4a=2,
∵3+2＜7,
∴三个木棒不能制作一个三角形木框,
∴第一段的长不能为3 cm.
(2)设CP=x cm,则PD=(8-x)cm,
∵AB,CP,PD能组成三角形,
∴x+4＞8-x 且4+8-x＞x,解得2＜x＜6,
∴整数x为3或4或5.
故符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.
根据题意,得第一段长为a cm,第二段的长为(3a-2)cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=(14-4a)cm,
当a=3时,3a-2=7,14-4a=2,
∵3+2＜7,
∴三个木棒不能制作一个三角形木框,
∴第一段的长不能为3 cm.
(2)设CP=x cm,则PD=(8-x)cm,
∵AB,CP,PD能组成三角形,
∴x+4＞8-x 且4+8-x＞x,解得2＜x＜6,
∴整数x为3或4或5.
故符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.
3. (2025·黑龙江牡丹江期中)已知$△ ABC$的三边$a$，$b$，$c$，则化简$|b - c - a| - |a + b - c|$的值是
2c-2b
.答案：3.2c-2b [解析]根据三角形的三边关系,两边之和大于第三边,得a+b-c＞0,b-c-a＜0,
∴|b-c-a|-|a+b-c|=(a+c-b)-(a+b-c)=a+c-b-a-b+c=2c-2b.
∴|b-c-a|-|a+b-c|=(a+c-b)-(a+b-c)=a+c-b-a-b+c=2c-2b.
4. 已知$△ ABC$的三边长是$a,b,c$.
(1)用“$＞$”或“$＜$”填空：$a - b + c$ ______ $0,c - a - b$ ______ $0,b + c - a$ ______ $0$；
(2)化简：$|a - b + c| - |c - a - b| + |b + c - a|$.
(1)用“$＞$”或“$＜$”填空：$a - b + c$ ______ $0,c - a - b$ ______ $0,b + c - a$ ______ $0$；
(2)化简：$|a - b + c| - |c - a - b| + |b + c - a|$.
答案：4.(1)＞ ＜ ＞ [解析]
∵△ABC的三边长是a,b,c,
∴a+c＞b,c-a＜b,b+c＞a,
∴a-b+c＞0,c-a-b＜0,b+c-a＞0.
(2)由(1),可得a-b+c＞0,c-a-b＜0,b+c-a＞0,
∴原式=a-b+c+(c-a-b)+b+c-a=a-b+c+c-a-b+b+c-a=-a-b+3c.
∵△ABC的三边长是a,b,c,
∴a+c＞b,c-a＜b,b+c＞a,
∴a-b+c＞0,c-a-b＜0,b+c-a＞0.
(2)由(1),可得a-b+c＞0,c-a-b＜0,b+c-a＞0,
∴原式=a-b+c+(c-a-b)+b+c-a=a-b+c+c-a-b+b+c-a=-a-b+3c.
5. 新考法 类比探究 观察并探索下列各问题，写出你通过观察得到的结论.
(1)如图(1),在$△ ABC$中,$P$为边$BC$上一点,则$BP+PC$
(2)如图(2),试观察比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$△ ABC$的周长的大小,并说明理由.
(1)如图(1),在$△ ABC$中,$P$为边$BC$上一点,则$BP+PC$
＜
$AB+AC$;(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)(2)如图(2),试观察比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$△ ABC$的周长的大小,并说明理由.
答案：
5.(1)＜
(2)四边形$BP_1P_2C$的周长＜△ABC的周长.理由如下:
如图,分别延长$BP_1,CP_2$交于点M,
易知 BM + CM ＜ AB + AC. 又$P_1P_2 ＜ P_1M + P_2M$,所以 $BP_1 + P_1P_2 + P_2C ＜ BM + CM ＜ AB + AC$,所以四边形$BP_1P_2C$的周长＜△ABC的周长.
5.(1)＜
(2)四边形$BP_1P_2C$的周长＜△ABC的周长.理由如下:
如图,分别延长$BP_1,CP_2$交于点M,
易知 BM + CM ＜ AB + AC. 又$P_1P_2 ＜ P_1M + P_2M$,所以 $BP_1 + P_1P_2 + P_2C ＜ BM + CM ＜ AB + AC$,所以四边形$BP_1P_2C$的周长＜△ABC的周长.