1. 我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后,对这类问题进行了深入的研究,他的研究过程如下:
(1)[问题再现]如图(1),在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$,若$∠ A=50°$,则$∠ P=$
(2)[问题推广]如图(2),在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$,将$△ ABC$沿$DE$折叠使得点$A$与点$P$重合,若$∠1+∠2=80°$,则$∠ BPC=$
(3)[拓展提升]如图(3),在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ CBM$的平分线交于点$P$,过点$B$作$BH⊥ AP$于点$H$,若$∠ ACB=80°$,求$∠ PBH$的度数;
(1)[问题再现]如图(1),在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$,若$∠ A=50°$,则$∠ P=$
115°
;(2)[问题推广]如图(2),在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$,将$△ ABC$沿$DE$折叠使得点$A$与点$P$重合,若$∠1+∠2=80°$,则$∠ BPC=$
110°
;(3)[拓展提升]如图(3),在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ CBM$的平分线交于点$P$,过点$B$作$BH⊥ AP$于点$H$,若$∠ ACB=80°$,求$∠ PBH$的度数;
答案：1.(1)115°
[解析]
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∴2∠PBC+2∠PCB=130°,
∴∠PBC+∠PCB=65°,
∴∠P=180°−∠PBC−∠PCB=115°.
(2)110°
[解析]由折叠的性质得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE.
∵∠1+∠AEP=180°,∠2+∠ADP=180°,∠1+∠2=80°,
∴∠AEP+∠ADP=280°,
∴2∠AED+2∠ADE=280°,
∴∠AED+∠ADE=140°,
∴∠A=180°−∠AED−∠ADE=40°,
∴同理(1)可得∠BPC=110°.
(3)
∵AP平分∠BAC,BP平分∠CBM,
∴∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2∠CBP.
∵∠CBM=∠BAC+∠C,
∴2∠CBP=2∠BAP+∠C,
∴∠CBP=∠BAP+40°.
∵∠ABC=180°−∠C−∠BAC,
∴∠ABC=100°−2∠BAP,
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°−∠BAP,
∴∠P=180°−∠BAP−∠ABP=40°.
∵BH⊥AP,
∴∠BHP=90°,
∴∠PBH=180°−∠P−∠BHP=50°,
∴∠PBH的度数为50°.
[解析]
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∴2∠PBC+2∠PCB=130°,
∴∠PBC+∠PCB=65°,
∴∠P=180°−∠PBC−∠PCB=115°.
(2)110°
[解析]由折叠的性质得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE.
∵∠1+∠AEP=180°,∠2+∠ADP=180°,∠1+∠2=80°,
∴∠AEP+∠ADP=280°,
∴2∠AED+2∠ADE=280°,
∴∠AED+∠ADE=140°,
∴∠A=180°−∠AED−∠ADE=40°,
∴同理(1)可得∠BPC=110°.
(3)
∵AP平分∠BAC,BP平分∠CBM,
∴∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2∠CBP.
∵∠CBM=∠BAC+∠C,
∴2∠CBP=2∠BAP+∠C,
∴∠CBP=∠BAP+40°.
∵∠ABC=180°−∠C−∠BAC,
∴∠ABC=100°−2∠BAP,
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°−∠BAP,
∴∠P=180°−∠BAP−∠ABP=40°.
∵BH⊥AP,
∴∠BHP=90°,
∴∠PBH=180°−∠P−∠BHP=50°,
∴∠PBH的度数为50°.
2.(1)模型:如图(1),AD,BC交于点O.求证:∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)模型应用:如图(2),∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D=20°,∠B=60°,则∠E的度数是
②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是
(3)类比应用:如图(3),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°,∠B=n°(m＜n).求∠E的度数.(用含有m,n的式子表示)
(2)模型应用:如图(2),∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D=20°,∠B=60°,则∠E的度数是
40°
;②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是
∠E=1/2(∠D+∠B)
.(3)类比应用:如图(3),∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°,∠B=n°(m＜n).求∠E的度数.(用含有m,n的式子表示)
答案：
2.(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°,∠COD=∠AOB,
∴∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)①40°
[解析]由(1)得∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB.
∵CE平分∠DCB,AE平分∠BAD,
∴∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE,
∴2∠E=∠B+∠D,
∴∠E=1/2×(20°+60°)=1/2×80°=40°.
②∠E=1/2(∠D+∠B)
(3)如图,延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD = ∠ECB = 1/2 ∠BCD,
∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD.
由(1)得∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E = ∠B + ∠EAB − ∠ECB = ∠B + ∠BAE − 1/2∠BCD=∠B+∠BAE−1/2(∠B+∠BAD+∠D)=1/2(∠B−∠D).
又∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=1/2(n−m)°.
2.(1)
∵∠D+∠C+∠COD=∠A+∠B+∠AOB=180°,∠COD=∠AOB,
∴∠D+∠C=∠A+∠B.
(2)①40°
[解析]由(1)得∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB.
∵CE平分∠DCB,AE平分∠BAD,
∴∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE,
∴2∠E=∠B+∠D,
∴∠E=1/2×(20°+60°)=1/2×80°=40°.
②∠E=1/2(∠D+∠B)
(3)如图,延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,
∴∠ECD = ∠ECB = 1/2 ∠BCD,
∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD.
由(1)得∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E = ∠B + ∠EAB − ∠ECB = ∠B + ∠BAE − 1/2∠BCD=∠B+∠BAE−1/2(∠B+∠BAD+∠D)=1/2(∠B−∠D).
又∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=1/2(n−m)°.