8. 如图，在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，$∠ C = ∠ E$，$∠ 1=∠ 2$，$AC=AE$，$AD$，$BC$ 相交于点$F$.
(1)求证:$△ ABC≌△ ADE$；
(2)若$AB// DE$，$∠ D=35°$，求$∠ AFB$ 的度数.
(1)求证:$△ ABC≌△ ADE$；
(2)若$AB// DE$，$∠ D=35°$，求$∠ AFB$ 的度数.
答案：8. (1)$\because ∠1=∠2,\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD$,
$\therefore ∠CAB=∠EAD$.
在$△ABC$ 和$△ADE$ 中,$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ AC=AE, \\ ∠CAB=∠EAD, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because AB// DE,∠D=35°,\therefore ∠1=∠D=35°$. 由(1)可知,$∠B=∠D=35°$,
$\therefore ∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-35°-35°=110°.$
$\therefore ∠CAB=∠EAD$.
在$△ABC$ 和$△ADE$ 中,$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ AC=AE, \\ ∠CAB=∠EAD, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△ADE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because AB// DE,∠D=35°,\therefore ∠1=∠D=35°$. 由(1)可知,$∠B=∠D=35°$,
$\therefore ∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-35°-35°=110°.$
9. 新考法 选择条件开放（2026·无锡宜兴期末）请从①$AC// DF$；②$BE=CF$这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答。已知，如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且$AB=DE$，$∠ ABC=∠ DEF$，
选择条件①
。求证：$△ ABC≌△ DEF$。答案：9. 选择条件①.
$\because AC// DF,\therefore ∠ACB=∠F$.
在$△ABC$ 与$△DEF$ 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠ACB=∠F, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(\mathrm{AAS}).$
选择条件②.
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE,\therefore BC=EF.$
在$△ABC$ 与$△DEF$ 中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(\mathrm{SAS}).$
$\because AC// DF,\therefore ∠ACB=∠F$.
在$△ABC$ 与$△DEF$ 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠ACB=∠F, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(\mathrm{AAS}).$
选择条件②.
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE,\therefore BC=EF.$
在$△ABC$ 与$△DEF$ 中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(\mathrm{SAS}).$
10.已知:如图(1),在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD,BE所在直线的交点.
(1)求证:BH=AC;
(2)如图(2),若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立,请补全图形并证明,若不成立,请说明理由.
视频学重难
(1)求证:BH=AC;
(2)如图(2),若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立,请补全图形并证明,若不成立,请说明理由.
视频学重难
答案：
10. (1)由题意可知,$∠ADC=∠BEC=∠BDH=90°$,
$\therefore ∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°$,
$\therefore ∠DAC=∠EBC$.
$\because ∠ABC=45°$,
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-45°=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠BAD$,
$\therefore △ABD$ 是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△BDH$ 和$△ADC$ 中,$\begin{cases} ∠DBH=∠DAC, \\ BD=AD, \\ ∠BDH=∠ADC, \end{cases}$
$\therefore △BDH≌△ADC(\mathrm{ASA}),\therefore BH=AC.$
(2)$HB=AC$ 仍然成立. 证明如下：
补全图形如图，
由题意可知,$∠HDB=∠CDA=∠CEB=90°$,$\therefore ∠H+∠HAE=90°$,$∠C+∠CAD=90°$.
又$∠HAE=∠DAC$,$\therefore ∠H=∠C$.
$\because ∠ABC=45°,∠ADB=90°$,
$\therefore$ 三角形 ABD 是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△BDH$ 和$△ADC$ 中,$\begin{cases} ∠H=∠C, \\ ∠HDB=∠CDA, \\ BD=AD, \end{cases}$
$\therefore △BDH≌△ADC(\mathrm{AAS}),\therefore BH=AC.$
10. (1)由题意可知,$∠ADC=∠BEC=∠BDH=90°$,
$\therefore ∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°$,
$\therefore ∠DAC=∠EBC$.
$\because ∠ABC=45°$,
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-45°=45°$,
$\therefore ∠ABC=∠BAD$,
$\therefore △ABD$ 是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△BDH$ 和$△ADC$ 中,$\begin{cases} ∠DBH=∠DAC, \\ BD=AD, \\ ∠BDH=∠ADC, \end{cases}$
$\therefore △BDH≌△ADC(\mathrm{ASA}),\therefore BH=AC.$
(2)$HB=AC$ 仍然成立. 证明如下：
补全图形如图，
由题意可知,$∠HDB=∠CDA=∠CEB=90°$,$\therefore ∠H+∠HAE=90°$,$∠C+∠CAD=90°$.
又$∠HAE=∠DAC$,$\therefore ∠H=∠C$.
$\because ∠ABC=45°,∠ADB=90°$,
$\therefore$ 三角形 ABD 是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△BDH$ 和$△ADC$ 中,$\begin{cases} ∠H=∠C, \\ ∠HDB=∠CDA, \\ BD=AD, \end{cases}$
$\therefore △BDH≌△ADC(\mathrm{AAS}),\therefore BH=AC.$