1.(2025·盐城盐都区月考)如图，$EC⊥ BD$，垂足为C，A是EC上一点，且$AC=CD$，$AB=DE$。若$AC=3.5$，$BD=9$，则AE的长为(
A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
A
).A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
答案：1. A [解析]$\because EC⊥ BD,\therefore ∠ACB=∠DCE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore CB=CE,AC=CD=3.5.$
$\because BD=CB+CD=9,\therefore CB=5.5,\therefore CE=5.5,$
$\therefore AE=CE-AC=5.5-3.5=2.$ 故选 A.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定与性质,用 HL 证明 $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$ 是解题的关键.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore CB=CE,AC=CD=3.5.$
$\because BD=CB+CD=9,\therefore CB=5.5,\therefore CE=5.5,$
$\therefore AE=CE-AC=5.5-3.5=2.$ 故选 A.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定与性质,用 HL 证明 $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC$ 是解题的关键.
2.如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,要使$△ ABD≌△ ACD$,若根据“HL”判定,还需要加条件:
AB=AC
.答案：2. $AB=AC$ [解析]还需添加条件 $AB=AC.$
$\because AD⊥BC$ 于点 $D,\therefore ∠ADB=∠ADC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL}).$
$\because AD⊥BC$ 于点 $D,\therefore ∠ADB=∠ADC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL}).$
3.（2026·山东济南济阳区期末）如图，$∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = CD$，点$E,F$为线段$BC$上两点且$BE = CF$.求证：$△ ABF ≌ △ DCE$.
答案：3. $\because BE=CF,\therefore BF=EC.$
在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中,$\begin{cases} BF=CE, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
在 $\mathrm{Rt}△ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△DCE$ 中,$\begin{cases} BF=CE, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
4. 教材 P30 习题 T2·变式 如图, 已知 $∠ A = ∠ D = 90°, AC = DB$. 求证: $∠ ABO = ∠ DCO$.
答案：4. $\because ∠A=∠D=90°,\therefore △ABC$ 和 $△DCB$ 是直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△DCB$ 中,$\begin{cases} BC=CB, \\ AC=DB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ABC = ∠DCB, ∠ACB = ∠DBC, \therefore ∠ABC - ∠DBC = ∠DCB - ∠ACB,\mathrm{即}∠ABO=∠DCO.$
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△DCB$ 中,$\begin{cases} BC=CB, \\ AC=DB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ABC = ∠DCB, ∠ACB = ∠DBC, \therefore ∠ABC - ∠DBC = ∠DCB - ∠ACB,\mathrm{即}∠ABO=∠DCO.$
5. (2026·河北张家口宣化区期末)如图,能直接用“HL”判定$Rt△ ABC≌ Rt△ A'B'C'$的条件是(
A.$AB=A'B',AC=A'C'$
B.$∠ A=∠ A',AB=A'B'$
C.$AC=A'C',BC=B'C'$
D.$∠ B=∠ B',BC=B'C'$
A
).A.$AB=A'B',AC=A'C'$
B.$∠ A=∠ A',AB=A'B'$
C.$AC=A'C',BC=B'C'$
D.$∠ B=∠ B',BC=B'C'$
答案：5. A [解析]在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△A'B'C'$ 中,$\begin{cases} AB=A'B' \\ AC=A'C', \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△A'B'C'(\mathrm{HL}).$ 故选 A.
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△A'B'C'(\mathrm{HL}).$ 故选 A.
6. (2026·河北石家庄期末)如图，$BE=CF$，$AE⊥BC$，$DF⊥BC$，要根据“HL”证明$Rt△ABE≌Rt△DCF$，则还需要添加一个条件是(
A.$AE=DF$
B.$∠A=∠D$
C.$∠B=∠C$
D.$AB=DC$
D
).A.$AE=DF$
B.$∠A=∠D$
C.$∠B=∠C$
D.$AB=DC$
答案：6. D [解析]条件是 $AB=DC.$ 理由如下：
$\because AE⊥BC,DF⊥BC,\therefore ∠CFD=∠AEB=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△DCF$ 中,$\begin{cases} AB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△DCF(\mathrm{HL}).$ 故选 D.
$\because AE⊥BC,DF⊥BC,\therefore ∠CFD=∠AEB=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△DCF$ 中,$\begin{cases} AB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△DCF(\mathrm{HL}).$ 故选 D.
7. (2025·扬州江都区期中)如图，$DC ⊥ AE$，垂足为C，且$AC = CD$，若用“HL”证明$△ ABC ≌ △ DEC$，则需添加的条件是
AB=DE
。答案：7. $AB=DE$
8.如图，点B,F,C,E在同一直线上，AC与DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ DEF$；
(2)若$∠ A=70°$，求$∠ AGF$的度数.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ DEF$；
(2)若$∠ A=70°$，求$∠ AGF$的度数.
答案：8. (1)$\because AB⊥BE,\therefore ∠B=90°.$
$\because DE⊥BE,\therefore ∠E=90°.\because BF=CE,$
$\therefore BF+CF=CE+CF,\mathrm{即}BC=EF.$
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEF$ 中,$\begin{cases} AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$
(2)$\because ∠A=70°,∠B=90°,\therefore ∠ACB=90°-70°=20°.$
由(1)知,$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF,\therefore ∠DFE=∠ACB=20°,\therefore ∠AGF=∠ACB+∠DFE=40°.$
$\because DE⊥BE,\therefore ∠E=90°.\because BF=CE,$
$\therefore BF+CF=CE+CF,\mathrm{即}BC=EF.$
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEF$ 中,$\begin{cases} AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$
(2)$\because ∠A=70°,∠B=90°,\therefore ∠ACB=90°-70°=20°.$
由(1)知,$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF,\therefore ∠DFE=∠ACB=20°,\therefore ∠AGF=∠ACB+∠DFE=40°.$