9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,在边$BC$上取点$D$,使得$CD=CA$,过点$D$作$DE⊥ BC$交$AB$于点$E$.若$AB=10$,$DE=4$,求$BE$的长.
视频学重难
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答案：9. 连接 $CE.$
在 $\mathrm{Rt}△AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEC$ 中,$\begin{cases} CE=CE, \\ CA=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore AE=DE.\because DE=4,\therefore AE=4.$
$\because AB=10,\therefore BE=AB-AE=10-4=6.$
在 $\mathrm{Rt}△AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△DEC$ 中,$\begin{cases} CE=CE, \\ CA=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore AE=DE.\because DE=4,\therefore AE=4.$
$\because AB=10,\therefore BE=AB-AE=10-4=6.$
10.（2025·珠海紫荆中学三模）如图，在$△ ABE$与$△ CBD$中，$AE⊥ BD$于点$E$，$CD⊥ BD$于点$D$，$AB=BC$，$BE=CD$。求证：$AB⊥ BC$。
答案：10. $\because AE⊥BD,CD⊥BD,$
$\therefore ∠AEB=∠BDC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△BCD(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠A=∠CBD,$
$\therefore ∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABE+∠A=90°,$
$\therefore AB⊥BC.$
$\therefore ∠AEB=∠BDC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△BCD(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠A=∠CBD,$
$\therefore ∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABE+∠A=90°,$
$\therefore AB⊥BC.$
11. (2025·徐州三十三中期中)如图，$AD// BC$，$∠ A=90°$，$E$是$AB$上的一点，且$AD=BE$，$∠1=∠2$.求证：$△ ADE≌△ BEC$.
答案：11. $\because ∠1=∠2,\therefore DE=CE.\because AD// BC,∠A=90°,$
$\therefore ∠B=90°.\therefore △ADE$ 和 $△EBC$ 是直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中,$\begin{cases} DE=CE, \\ AD=BE. \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠B=90°.\therefore △ADE$ 和 $△EBC$ 是直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△BEC$ 中,$\begin{cases} DE=CE, \\ AD=BE. \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
12. 角平分线模型 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE.$AC=DE$，$BC=BE$.
(1)求证:$AB=BD$；
(2)BF平分$∠ ABC$交AC于点F，G是线段FB延长线上一点，连接DG，H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG.当KB平分$∠ AKG$时，求证:$AK=DG+KG$.
(1)求证:$AB=BD$；
(2)BF平分$∠ ABC$交AC于点F，G是线段FB延长线上一点，连接DG，H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG.当KB平分$∠ AKG$时，求证:$AK=DG+KG$.
答案：
12. (1)在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中,$\begin{cases} AC=DE, \\ BC=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}),\therefore AB=BD.$
(2)如图,作 BM 平分$∠ABD$ 交 AK 于点 M.
→作角平分线创造新的等角条件,为后续证明全等三角形作铺垫
$\because BM$ 平分$∠ABD$,$KB$ 平分$∠AKG$,$BF$ 平分$∠ABC,$
$\therefore ∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,$
$∠ABF=∠FBC=45°.\because ∠FBC=∠DBG=45°,$
$\therefore ∠MBD=∠GBD,\therefore ∠ABM=∠DBG.$
在$△BMK$ 和$△BGK$ 中,$\begin{cases} ∠MBK=∠GBK, \\ BK=BK, \\ ∠MKB=∠GKB, \end{cases}$
$\therefore △BMK≌△BGK(\mathrm{ASA}),\therefore BM=BG,MK=KG.$
在$△ABM$ 和$△DBG$ 中,$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABM=∠DBG, \\ BM=BG, \end{cases}$
$\therefore △ABM≌△DBG(\mathrm{SAS}),\therefore AM=DG.$
$\because AK=AM+MK,\therefore AK=DG+KG.$
12. (1)在 $\mathrm{Rt}△ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△DEB$ 中,$\begin{cases} AC=DE, \\ BC=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DEB(\mathrm{HL}),\therefore AB=BD.$
(2)如图,作 BM 平分$∠ABD$ 交 AK 于点 M.
→作角平分线创造新的等角条件,为后续证明全等三角形作铺垫
$\because BM$ 平分$∠ABD$,$KB$ 平分$∠AKG$,$BF$ 平分$∠ABC,$
$\therefore ∠ABM=∠MBD=45°,∠AKB=∠BKG,$
$∠ABF=∠FBC=45°.\because ∠FBC=∠DBG=45°,$
$\therefore ∠MBD=∠GBD,\therefore ∠ABM=∠DBG.$
在$△BMK$ 和$△BGK$ 中,$\begin{cases} ∠MBK=∠GBK, \\ BK=BK, \\ ∠MKB=∠GKB, \end{cases}$
$\therefore △BMK≌△BGK(\mathrm{ASA}),\therefore BM=BG,MK=KG.$
在$△ABM$ 和$△DBG$ 中,$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABM=∠DBG, \\ BM=BG, \end{cases}$
$\therefore △ABM≌△DBG(\mathrm{SAS}),\therefore AM=DG.$
$\because AK=AM+MK,\therefore AK=DG+KG.$