1. (2025·苏州高新区一模)已知:如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AE//BF，且AE=BF.求证:AC=BD. 
答案：
∵ED⊥AB,FC⊥AB,
∴∠ADE=∠BCF=90°.
∵AE//BF,
∴∠A=∠B.
在△ADE与△BCF中,
$\{\begin{array}{l} ∠ADE=∠BCF,\\ ∠A=∠B,\\ AE=BF,\end{array} $
∴△ADE≌△BCF(AAS),
∴AD=BC,
∴AC=BD.
∵ED⊥AB,FC⊥AB,
∴∠ADE=∠BCF=90°.
∵AE//BF,
∴∠A=∠B.
在△ADE与△BCF中,
$\{\begin{array}{l} ∠ADE=∠BCF,\\ ∠A=∠B,\\ AE=BF,\end{array} $
∴△ADE≌△BCF(AAS),
∴AD=BC,
∴AC=BD.
2. 如图，已知$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，$BM=AC$，$CN=AB$。求证：$AM ⊥ AN$。
答案：
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠B+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,
∴∠B=∠C.又BM=CA,AB=NC,
∴△ABM≌△NCA(SAS),
∴∠BAM=∠N.
∵∠N+∠NAF=90°,
∴∠BAM+∠NAF=90°,即∠MAN=90°,
∴AM⊥AN.
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠B+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,
∴∠B=∠C.又BM=CA,AB=NC,
∴△ABM≌△NCA(SAS),
∴∠BAM=∠N.
∵∠N+∠NAF=90°,
∴∠BAM+∠NAF=90°,即∠MAN=90°,
∴AM⊥AN.
3. 新考法 猜想探究 (2025·山西临汾期末)如图,已知$AD⊥BC$于点D,点E在AB上,CE交AD于点F,$△ ABD≌△ CFD$.
(1)若$BC=12$,$AD=8$,求BD的长;
(2)试判断AB和CF的数量关系和位置关系,并说明理由.
(1)若$BC=12$,$AD=8$,求BD的长;
(2)试判断AB和CF的数量关系和位置关系,并说明理由.
答案：(1)
∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,AD=DC.
∵BC=12,AD=8,
∴CD=AD=8,
∴BD=BC-CD=12-8=4.
(2)AB=CF,且AB⊥CF.理由如下:
∵△ABD≌△CFD,
∴AB=CF,∠BAD=∠FCD.
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEF=∠CDF=90°,
∴AB⊥CF,
∴AB=CF,且AB⊥CF.
∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,AD=DC.
∵BC=12,AD=8,
∴CD=AD=8,
∴BD=BC-CD=12-8=4.
(2)AB=CF,且AB⊥CF.理由如下:
∵△ABD≌△CFD,
∴AB=CF,∠BAD=∠FCD.
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEF=∠CDF=90°,
∴AB⊥CF,
∴AB=CF,且AB⊥CF.
4. 倍长中线模型 （1）如图(1)，在$△ ABC$中，若$AB=10$，$AC=6$，则边$BC$上的中线$AD$的取值范围是
（第4题）
2＜AD＜8
；（2）如图(2)，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上的中点，$DE⊥ DF$于点$D$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$，连接$EF$，求证：$BE+CF＞EF$。（第4题）答案：
(1)2＜AD＜8
(2)如图,延长FD至点G,使DG=DF,连接BG,EG.
∵D是BC的中点,
∴DB=DC.
∵∠BDG=∠CDF,DG=DF,
∴△BDG≌△CDF(SAS),
∴BG=CF.
∵ED⊥FD,
∴∠EDF=∠EDG=90°.
又ED=ED,FD=GD,
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF=EG.
∵在△BEG中,BE+BG＞EG,
→在三角形中,任意两边之和大于第三边
∴BE+CF＞EF.
(1)2＜AD＜8
(2)如图,延长FD至点G,使DG=DF,连接BG,EG.
∵D是BC的中点,
∴DB=DC.
∵∠BDG=∠CDF,DG=DF,
∴△BDG≌△CDF(SAS),
∴BG=CF.
∵ED⊥FD,
∴∠EDF=∠EDG=90°.
又ED=ED,FD=GD,
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF=EG.
∵在△BEG中,BE+BG＞EG,
→在三角形中,任意两边之和大于第三边
∴BE+CF＞EF.