1. 如图,在$△ ABC$中,$BE$平分$∠ ABC$,$∠ 2=∠ 1+∠ C$.
(1)求证:$AD⊥ BE$;
(2)若$∠ ABC=2∠ 1$,求证:$∠ BAC=90°$.
(1)求证:$AD⊥ BE$;
(2)若$∠ ABC=2∠ 1$,求证:$∠ BAC=90°$.
答案：1.(1)延长 AD 交 BC 于点 F,则∠AFB=∠C+∠1.
∵∠2=∠1+∠C,
∴∠2=∠AFB.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
又 BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴∠ADB=∠FDB=90°,
∴AD⊥BE.
(2)
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=2∠1,
∴∠ABE=∠1.
由(1)可知∠2+∠ABD=90°,即∠2+∠1=90°,
∴∠BAC=90°.
∵∠2=∠1+∠C,
∴∠2=∠AFB.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
又 BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴∠ADB=∠FDB=90°,
∴AD⊥BE.
(2)
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=2∠1,
∴∠ABE=∠1.
由(1)可知∠2+∠ABD=90°,即∠2+∠1=90°,
∴∠BAC=90°.
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$CD$平分$∠ ACB$，$BE ⊥ CD$，垂足$E$在$CD$的延长线上，试探究线段$BE$和$CD$的数量关系，并证明你的结论。
答案：
2. CD=2BE.理由如下：
如图,延长 BE 交 CA 的延长线于点 F.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠FCE=∠BCE.
∵BE⊥CD,
∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△CEF 和△CEB 中,
$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE, \\ CE=CE, \\ ∠CEF=∠CEB=90°, \end{cases}$
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE.
∵∠DAC=∠CEF=90°,
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°.
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD 和△ABF 中,$\begin{cases} ∠ACD=∠ABF, \\ AC=AB, \\ ∠CAD=∠BAF=90°, \end{cases}$
∴△ACD≌△ABF(ASA),
∴CD=BF,
∴CD=2BE.
2. CD=2BE.理由如下：
如图,延长 BE 交 CA 的延长线于点 F.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠FCE=∠BCE.
∵BE⊥CD,
∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△CEF 和△CEB 中,
$\begin{cases} ∠FCE=∠BCE, \\ CE=CE, \\ ∠CEF=∠CEB=90°, \end{cases}$
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE.
∵∠DAC=∠CEF=90°,
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°.
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD 和△ABF 中,$\begin{cases} ∠ACD=∠ABF, \\ AC=AB, \\ ∠CAD=∠BAF=90°, \end{cases}$
∴△ACD≌△ABF(ASA),
∴CD=BF,
∴CD=2BE.
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,点$D$在线段$BC$上,$∠ EDB=\frac{1}{2}∠ C$,$BE⊥ DE$,垂足为$E$,$DE$与$AB$相交于点$F$,试探究线段$BE$与$FD$的数量关系,并证明你的结论.
答案：
3. DF=2BE.证明如下:如图,过点 D 作 DG//AC 交 AB 于点 H,交 BE 的延长线于点 G,
∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠A=90°.
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠EDB=∠EDG.
又 DE=DE,∠GED=∠BED=90°,
∴△DEG≌△DEB(ASA),
∴BE=GE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠HBD=∠HDB=45°,易证 HB=HD.
又∠HFD=∠EFB,∠FHD=∠FEB=90°,
∴∠HDF=∠HBG,
∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,
∴FD=2BE.
3. DF=2BE.证明如下:如图,过点 D 作 DG//AC 交 AB 于点 H,交 BE 的延长线于点 G,
∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠A=90°.
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠EDB=∠EDG.
又 DE=DE,∠GED=∠BED=90°,
∴△DEG≌△DEB(ASA),
∴BE=GE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠HBD=∠HDB=45°,易证 HB=HD.
又∠HFD=∠EFB,∠FHD=∠FEB=90°,
∴∠HDF=∠HBG,
∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,
∴FD=2BE.
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 2∠ C$，$AD$是$∠ BAC$的平分线. 求证：$AC=AB+BD$. 
（第4题）
（第4题）答案：
4. 如图,在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAD=∠BAD.
在△AED 和△ABD 中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠EAD=∠BAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴ED=BD,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.
又∠AED 为△CED 的外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC.
∴∠C=∠EDC.
易证 EC=ED,
在△ECD 中,过点 E 作 EH⊥CD,证△ECH≌△EDH,即可得证
∴EC=BD,
∴AC=AE+EC=AB+BD.
4. 如图,在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAD=∠BAD.
在△AED 和△ABD 中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠EAD=∠BAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴ED=BD,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.
又∠AED 为△CED 的外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC.
∴∠C=∠EDC.
易证 EC=ED,
在△ECD 中,过点 E 作 EH⊥CD,证△ECH≌△EDH,即可得证
∴EC=BD,
∴AC=AE+EC=AB+BD.