5. 化归思想 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法.
已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,∠B+∠D=180°.
(1)如图(1),当∠B=90°时,求证:CB=CD.
(2)如图(2),当∠B＜90°时.
①求证:CB=CD;
②若 AB=10 cm,AD=6 cm,∠B=45°,则点 C 到 AB 的距离是
已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,∠B+∠D=180°.
(1)如图(1),当∠B=90°时,求证:CB=CD.
(2)如图(2),当∠B＜90°时.
①求证:CB=CD;
②若 AB=10 cm,AD=6 cm,∠B=45°,则点 C 到 AB 的距离是
2
cm.答案：
5. (1)
∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,
∴∠D=90°.
∵AC 平分∠BAD,
∴CD=BC.
(2)①如图,过点 C 作 CE⊥BA 于点 E,过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 延长线于点 F.
看到角平分线,可作垂直,构造截长补短模型
由截长补短模型结论可得 CE=CF.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠B=∠FDC.
∵∠CEB=∠F=90°,CE=CF,
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴BC=CD.
②2 [解析] 由 ① 可得△ACF≌△ACE,△CDF≌△CBE,
∴AF=AE,DF=BE,
∴AD+DF=AB-BE,即 AD+BE=AB-BE.
∴2BE=AB-AD.
∵AB=10 cm,AD=6 cm,
∴BE=2 cm.
∵∠B=45°,
∴△BCE 为等腰直角三角形,
∴CE=BE=2 cm,
∴点 C 到 AB 的距离是 2 cm.
5. (1)
∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,
∴∠D=90°.
∵AC 平分∠BAD,
∴CD=BC.
(2)①如图,过点 C 作 CE⊥BA 于点 E,过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 延长线于点 F.
看到角平分线,可作垂直,构造截长补短模型
由截长补短模型结论可得 CE=CF.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠B=∠FDC.
∵∠CEB=∠F=90°,CE=CF,
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴BC=CD.
②2 [解析] 由 ① 可得△ACF≌△ACE,△CDF≌△CBE,
∴AF=AE,DF=BE,
∴AD+DF=AB-BE,即 AD+BE=AB-BE.
∴2BE=AB-AD.
∵AB=10 cm,AD=6 cm,
∴BE=2 cm.
∵∠B=45°,
∴△BCE 为等腰直角三角形,
∴CE=BE=2 cm,
∴点 C 到 AB 的距离是 2 cm.
大招4 倍长中线
在$△ ABC$中，点D是BC的中点，延长AD至点E，使得$DE=AD$，结论：$△ BDE ≌ △ CDA$。
在$△ ABC$中，点D是BC的中点，延长AD至点E，使得$DE=AD$，结论：$△ BDE ≌ △ CDA$。
答案：证明：
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠BDE = ∠CDA \\DE = AD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS）。
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠BDE = ∠CDA \\DE = AD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS）。
6. 如图,在△ADC中,F为AD的中点,∠DFE=∠DAC,且EF=AC,若△DEF的面积为2,求△ADC的面积.
答案：
6. 如图,过点 C 作 CM⊥AD 于点 M,过点 E 作 EN⊥AD 的延长线于点 N,
则∠END=∠CMD=∠CMA=90°.
∵∠DAC=∠DFE,
即∠CAM=∠EFN.
又 AC=FE,
∴△ACM≌△FEN,
∴CM=EN.
在△EDN 和△CDM 中,$\begin{cases} ∠EDN=∠CDM, \\ ∠N=∠CMD=90°, \\ EN=CM, \end{cases}$
∴△EDN≌△CDM(AAS),
∴ED=CD.
连接 CF,则$S_{△CDF}=S_{△EDF}=2$.
又 F 为 AD 的中点,
∴$S_{△ADC}=2S_{△CDF}=4$.
6. 如图,过点 C 作 CM⊥AD 于点 M,过点 E 作 EN⊥AD 的延长线于点 N,
则∠END=∠CMD=∠CMA=90°.
∵∠DAC=∠DFE,
即∠CAM=∠EFN.
又 AC=FE,
∴△ACM≌△FEN,
∴CM=EN.
在△EDN 和△CDM 中,$\begin{cases} ∠EDN=∠CDM, \\ ∠N=∠CMD=90°, \\ EN=CM, \end{cases}$
∴△EDN≌△CDM(AAS),
∴ED=CD.
连接 CF,则$S_{△CDF}=S_{△EDF}=2$.
又 F 为 AD 的中点,
∴$S_{△ADC}=2S_{△CDF}=4$.
7.如图,已知AD是△ACB的中线,E是AC上的一点,BE交AD于点F,AC = BF,∠DAC = 24°,∠EBC = 30°,求∠ACB 的度数.
（第7题）
（第7题）答案：
7. 如图,延长 AD 到点 M,使得 DM=AD,连接 BM.
在△BDM 和△CDA 中,
$\begin{cases} DM=DA, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°,∠ACB=∠DBM,
∴∠M=∠BFM=24°,
∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°.
∵∠EBC=30°,
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=102°,
∴∠ACB=∠DBM=102°.
7. 如图,延长 AD 到点 M,使得 DM=AD,连接 BM.
在△BDM 和△CDA 中,
$\begin{cases} DM=DA, \\ ∠BDM=∠CDA, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°,∠ACB=∠DBM,
∴∠M=∠BFM=24°,
∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°.
∵∠EBC=30°,
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=102°,
∴∠ACB=∠DBM=102°.