9. 证明:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
已知:线段AB外一点P,且$PA=PB$.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
已知:线段AB外一点P,且$PA=PB$.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
答案：
9.如图,过点P作PD⊥AB于点D,
则∠PDA=∠PDB=90°.
在Rt△PDA和Rt△PDB中，
$\begin{cases} PA=PB, \\ PD=PD, \end{cases}$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL),
∴AD=BD.
∵PD⊥AB，
∴PD垂直平分AB,即点P在线段AB的垂直平分线上。
9.如图,过点P作PD⊥AB于点D,
则∠PDA=∠PDB=90°.
在Rt△PDA和Rt△PDB中，
$\begin{cases} PA=PB, \\ PD=PD, \end{cases}$
∴Rt△PDA≌Rt△PDB(HL),
∴AD=BD.
∵PD⊥AB，
∴PD垂直平分AB,即点P在线段AB的垂直平分线上。
10. 如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，$BE=AC$。(1)求证:$AD⊥ BC$；(2)若$∠ B=25°$,求$∠ C$的度数。
（第10题）
（第10题）答案：
10.(1)如图,连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点,
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中,$\begin{cases} AE=AC, \\ AD=AD, \\ DE=DC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠ADE=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC.
(2)
∵EF是AB的垂直平分线，
∴∠EFB=∠EFA=90°,AE=BE.
在Rt△EBF和Rt△EAF中，
$\begin{cases} EB=EA, \\ EF=EF, \end{cases}$
∴Rt△EBF≌Rt△EAF(HL).
∵∠B=25°，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠B=50°，
∴∠C=∠AED=50°。
思路引导 本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
10.(1)如图,连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点,
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中,$\begin{cases} AE=AC, \\ AD=AD, \\ DE=DC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠ADE=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC.
(2)
∵EF是AB的垂直平分线，
∴∠EFB=∠EFA=90°,AE=BE.
在Rt△EBF和Rt△EAF中，
$\begin{cases} EB=EA, \\ EF=EF, \end{cases}$
∴Rt△EBF≌Rt△EAF(HL).
∵∠B=25°，
∴∠EAB=∠B=25°，
∴∠AED=∠EAB+∠B=50°，
∴∠C=∠AED=50°。
思路引导 本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
11. 如图，在$△ ABC$中，边$AB$的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$，边$AC$的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$，$l_1$与$l_2$相交于点$O$，连接$OB$，$OC$。若$△ ADE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$，$△ OBC$的周长为$32\ \mathrm{cm}$。
(1)求线段$BC$的长；
(2)连接$OA$，求线段$OA$的长；
(3)若$∠ BAC=n°(n＞90)$，直接写出$∠ DAE$的度数。
视频学重难
(1)求线段$BC$的长；
(2)连接$OA$，求线段$OA$的长；
(3)若$∠ BAC=n°(n＞90)$，直接写出$∠ DAE$的度数。
视频学重难
答案：
11.(1)
∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.
(2)如图,连接OA.
∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴OA=OB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴OA=OC.
∵OB + OC + BC = 32 cm,BC=12 cm，
∴OA=OB=OC=10 cm.
(3)$∠DAE=2n°−180°$。
11.(1)
∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.
(2)如图,连接OA.
∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴OA=OB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴OA=OC.
∵OB + OC + BC = 32 cm,BC=12 cm，
∴OA=OB=OC=10 cm.
(3)$∠DAE=2n°−180°$。
12. (2025·连云港中考)如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则$△ AEG$的周长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
).A.5
B.6
C.7
D.8
答案：12.C ［解析］
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,
∴EA=EB,GA=GC，
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.故选C.
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,
∴EA=EB,GA=GC，
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.故选C.