1. (2026·南京秦淮区钟英中学期末)若$a$是无理数，且$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$，则$a$可能是(
A.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
C
).A.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
答案：1.C [解析]由于$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$,由平均数的定义可知,当$a$是$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$的平均数时满足题意,即$a$可能为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$.故选 C.
2. 下列各数中，是无理数的是(
A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.0.131 33
A
).A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.0.131 33
答案：2.A [解析]A.$\frac{π}{2}$是无理数.故此选项符合题意;B.$\frac{1}{3}$是有理数.故此选项不符合题意;C.$\sqrt[3]{27}=3$,是有理数.故此选项不符合题意;D. 0.131 33 是有理数.故此选项不符合题意.故选 A.
归纳总结 本题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如$π,\sqrt{6},0.808\ 008\ 000\ 8···$(每两个8之间依次多1个0)等形式.
归纳总结 本题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如$π,\sqrt{6},0.808\ 008\ 000\ 8···$(每两个8之间依次多1个0)等形式.
3. (2026·山西晋中左权期末)在－1.414，$\sqrt{2}$，π，$2+\sqrt{3}$，3.212 212 221…(每两个1之间依次多1个2)，3.14，$-\frac{22}{7}$这些数中，无理数的个数为(
A.5
B.2
C.3
D.4
D
).A.5
B.2
C.3
D.4
答案：3.D [解析]$-1.414,3.14$是有限小数,$-\frac{22}{7}$是分数,它们不是无理数,$\sqrt{2},π,2+\sqrt{3},3.212\ 212\ 221···$(每两个1之间依次多1个2)是无限不循环小数,它们是无理数,共4个.故选 D.
4. $1-\sqrt{7}$的相反数是
$\sqrt{7}-1$
；$\sqrt[3]{-64}$的绝对值是4
。答案：4.$\sqrt{7}-1$ 4
5. (2025·南京秦淮区期中)已知$a＞0,b＞0,\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，求证：$a＞b$。
(1)证明的途径可以用下面的图表示，请填写其中的空格。
(2)请用另一种方法证明。
(1)证明的途径可以用下面的图表示，请填写其中的空格。
(2)请用另一种方法证明。
答案：5.(1)$\sqrt{a} × \sqrt{b} ＞ (\sqrt{b})^2$ $a＞b$ [解析]$\because a＞0,b＞0$,$\therefore \sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0$.$\because \sqrt{a}＞\sqrt{b}$,$\therefore (\sqrt{a})^2＞\sqrt{a} × \sqrt{b},\sqrt{a} × \sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$,$\therefore (\sqrt{a})^2＞(\sqrt{b})^2$,即$a＞b$.
(2)$\because a＞0,b＞0$,
$\therefore a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
$\because \sqrt{a}＞\sqrt{b},\therefore \sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$.
$\because \sqrt{a}+\sqrt{b}＞0,\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,
$\therefore a-b＞0$,即$a＞b$.
(2)$\because a＞0,b＞0$,
$\therefore a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
$\because \sqrt{a}＞\sqrt{b},\therefore \sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$.
$\because \sqrt{a}+\sqrt{b}＞0,\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,
$\therefore a-b＞0$,即$a＞b$.
6. (2024·德州中考)在 $0,\frac{1}{2},-2,\sqrt{2}$ 这四个数中，最小的数是(
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$\sqrt{2}$
C
).A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$\sqrt{2}$
答案：6.C [解析]$\because -2＜0＜\frac{1}{2}＜\sqrt{2}$,$\therefore$最小的数是$-2$.故选 C.
7. 数形结合思想，如图，直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达点A，则此时点A表示的数是（
A.$π +1$
B.$-π -1$
C.$-π +1$
D.$π -1$
C
）。A.$π +1$
B.$-π -1$
C.$-π +1$
D.$π -1$
答案：7.C [解析]$\because$圆的周长为$1 × π=π$,$\therefore$点A表示的数为$1-π$.故选 C.
归纳总结 本题考查了实数与数轴,数轴上较大的数减去两点之间的距离即可得到较小的数.
归纳总结 本题考查了实数与数轴,数轴上较大的数减去两点之间的距离即可得到较小的数.
8. 传统文化 了解秦九韶公式 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为$a,b,c$，记$p=\dfrac{a+b+c}{2}$，那么其面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。若某个三角形的三边长分别为2,3,3，其面积$S$介于哪两个整数之间（
A.1与2
B.2与3
C.3与4
D.4与5
B
）.A.1与2
B.2与3
C.3与4
D.4与5
答案：8.B [解析]根据题意,得三角形的三边长分别为2,3,3,则$p=\frac{2+3+3}{2}=4$,$\therefore$其面积$S=\sqrt{4 ×(4-2) ×(4-3) ×(4-3)}=\sqrt{8}$.$\because 4＜8＜9$,$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$,$\therefore 2＜\sqrt{8}＜3$.故选 B.
9.（山东泰安泰山实验中学自主招生）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1和$\sqrt{3}$，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（
A.$-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$-2$
C
）。A.$-1$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$-2$
答案：9.C [解析]设点C所表示的数为$x$.
$\because$数轴上A,B两点表示的数分别为1和$\sqrt{3}$,$\therefore AB=\sqrt{3}-1$.
根据题意,得$1-x=\sqrt{3}-1$,解得$x=2-\sqrt{3}$.故选 C.
$\because$数轴上A,B两点表示的数分别为1和$\sqrt{3}$,$\therefore AB=\sqrt{3}-1$.
根据题意,得$1-x=\sqrt{3}-1$,解得$x=2-\sqrt{3}$.故选 C.
10.（2026·南京五十中月考）下列各数：$2π$，$0.23$，$\sqrt[3]{100}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{3}+1$，$0.1010010001···$（每两个1之间的0的个数依次加1）中，无理数有
4
个。答案：10.4 [解析]$2π,\sqrt[3]{100},-\sqrt{3}+1,0.101\ 001\ 000\ 1···$(每两个1之间的0的个数依次加1)均为无理数,共4个.