15.（2025·南京鼓楼区期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若$\sqrt{1.71} \approx 1.31$，$\sqrt{17.1} \approx 4.14$，则$\sqrt{1710} \approx$
根据以上规律，若$\sqrt{1.71} \approx 1.31$，$\sqrt{17.1} \approx 4.14$，则$\sqrt{1710} \approx$
41.4
。答案：15. 41.4 [解析]由表格可以发现:被开方数的小数点(向左或者右)每移动两位,其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位.$\because \sqrt{17.1}\approx4.14,\therefore \sqrt{1710}\approx41.4$.
16. 在计算器上依次按键：
，显示的结果为
，显示的结果为-4
。答案：16. -4
17. 方程思想 新考法 探究新定义问题 如图,已知实数$a(a＞0)$在数轴上对应的位置为点$P$.现对点$P$进行如下操作:先把点$P$沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动$t(t＞0)$秒,再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动$a$秒,得到点$P'$.我们把这样的操作称为点$P$的“回移”,点$P'$为点$P$的“回移点”.
(1)当$t=2$时,
①若$a=4$,求点$P$的回移点$P'$表示的实数;
②若回移点$P'$与点$P$恰好重合,求$a$的值.
(2)是否存在这样的情况:原点$O$,点$P$及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点?若存在,请用含$a$的代数式表示$t$;若不存在,请说明理由.
视频学思想
(1)当$t=2$时,
①若$a=4$,求点$P$的回移点$P'$表示的实数;
②若回移点$P'$与点$P$恰好重合,求$a$的值.
(2)是否存在这样的情况:原点$O$,点$P$及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点?若存在,请用含$a$的代数式表示$t$;若不存在,请说明理由.
视频学思想
答案：17. (1)①当$t=2,a=4$时,回移点$P'$表示的实数是$4-2×1+2×4=10$.
②当$t=2$时,回移点$P'$表示的实数是$a-2×1+2a=3a-2$.$\because$回移点$P'$与点$P$恰好重合,$\therefore 3a-2=a$,解得$a=1$.故$a$的值是 1.
(2)存在原点$O$,点$P$及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点.理由如下:
根据题意,得点$P$表示的数是$a$,点$O$表示的数是 0,点$P'$表示的数是$a-t+2a=3a-t$,
$\therefore OP=a,OP'=|3a-t|,PP'=|2a-t|$.
当$O$为$PP'$的三等分点时,$OP'=2OP$或$OP'=\frac{1}{2}OP$,
$\therefore |3a-t|=2a$或$|3a-t|=\frac{1}{2}a$,
解得$t=a$(不符合题意,舍去)或$t=5a$或$t=\frac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{7}{2}a$;
当$P'$是$OP$的三等分点时,$OP'=2PP'$或$OP'=\frac{1}{2}PP'$,
$\therefore |3a-t|=2|2a-t|$或$|3a-t|=\frac{1}{2}|2a-t|$,
解得$t=a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{7}{3}a$或$t=4a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{8}{3}a$;
当$P$为$OP'$的三等分点时,$OP=2PP'$或$OP=\frac{1}{2}PP'$,
$\therefore a=2|2a-t|$或$a=\frac{1}{2}|2a-t|$,
解得$t=\frac{3}{2}a$或$t=\frac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=4a$(不符合题意,舍去)或$t=0$(不符合题意,舍去).
综上所述,$t=5a$ 或 $t=\frac{7}{2}a$ 或 $t=\frac{7}{3}a$ 或 $t=\frac{8}{3}a$ 或 $t=\frac{3}{2}a$.
②当$t=2$时,回移点$P'$表示的实数是$a-2×1+2a=3a-2$.$\because$回移点$P'$与点$P$恰好重合,$\therefore 3a-2=a$,解得$a=1$.故$a$的值是 1.
(2)存在原点$O$,点$P$及其回移点$P'$中,一个点是以另外两点为端点的线段的三等分点.理由如下:
根据题意,得点$P$表示的数是$a$,点$O$表示的数是 0,点$P'$表示的数是$a-t+2a=3a-t$,
$\therefore OP=a,OP'=|3a-t|,PP'=|2a-t|$.
当$O$为$PP'$的三等分点时,$OP'=2OP$或$OP'=\frac{1}{2}OP$,
$\therefore |3a-t|=2a$或$|3a-t|=\frac{1}{2}a$,
解得$t=a$(不符合题意,舍去)或$t=5a$或$t=\frac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{7}{2}a$;
当$P'$是$OP$的三等分点时,$OP'=2PP'$或$OP'=\frac{1}{2}PP'$,
$\therefore |3a-t|=2|2a-t|$或$|3a-t|=\frac{1}{2}|2a-t|$,
解得$t=a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{7}{3}a$或$t=4a$(不符合题意,舍去)或$t=\frac{8}{3}a$;
当$P$为$OP'$的三等分点时,$OP=2PP'$或$OP=\frac{1}{2}PP'$,
$\therefore a=2|2a-t|$或$a=\frac{1}{2}|2a-t|$,
解得$t=\frac{3}{2}a$或$t=\frac{5}{2}a$(不符合题意,舍去)或$t=4a$(不符合题意,舍去)或$t=0$(不符合题意,舍去).
综上所述,$t=5a$ 或 $t=\frac{7}{2}a$ 或 $t=\frac{7}{3}a$ 或 $t=\frac{8}{3}a$ 或 $t=\frac{3}{2}a$.
18. 数形结合思想（2025·浙江金华义乌期中改编）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
(1)折叠纸面，若使1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与
操作二：
(2)折叠纸面，若使1表示的点与－3表示的点重合，回答以下问题：
①$\sqrt{3}$表示的点与数
②若数轴上A，B两点之间的距离为8(A在B的左侧)，且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是
操作三：
(3)在数轴上剪下9个单位长度(从－1到8)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图).若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？
操作一：
(1)折叠纸面，若使1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与
2
表示的点重合.操作二：
(2)折叠纸面，若使1表示的点与－3表示的点重合，回答以下问题：
①$\sqrt{3}$表示的点与数
$-2-\sqrt{3}$
表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间的距离为8(A在B的左侧)，且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是
－5,3
.操作三：
(3)在数轴上剪下9个单位长度(从－1到8)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图).若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？
答案：
18. (1)2 [解析]$\because 1$表示的点与$-1$表示的点重合,$\therefore$折痕处对应的点为原点.则$-2$表示的点与 2 表示的点重合.
(2)①$-2-\sqrt{3}$ [解析]$\because$折叠纸面,若使 1 表示的点与$-3$表示的点重合,则折痕处对应的点所表示的数为$-1$.设$\sqrt{3}$表示的点与数$a$表示的点重合,则$\sqrt{3}-(-1)=-1-a$,解得$a=-2-\sqrt{3}$.
②$-5,3$ [解析]$\because$数轴上$A,B$两点之间的距离为 8,$\therefore$数轴上$A,B$两点到折痕$-1$的距离为 4.$\because A$在$B$的左侧,$\therefore A,B$两点表示的数分别是$-5,3$.
(3)设折痕处对应的点所表示的数是$x$,
如图(1),当$AB:BC:CD=1:1:2$时，
设$AB=a,BC=a,CD=2a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{4},BC=\frac{9}{4},CD=\frac{9}{2}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{4}+\frac{9}{8}=\frac{19}{8}$;
如图(2),当$AB:BC:CD=1:2:1$时，
设$AB=a,BC=2a,CD=a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{4},BC=\frac{9}{2},CD=\frac{9}{4}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{7}{2}$;
如图(3),当$AB:BC:CD=2:1:1$时，
设$AB=2a,BC=a,CD=a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{2},BC=\frac{9}{4},CD=\frac{9}{4}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{2}+\frac{9}{8}=\frac{37}{8}$.
综上所述,折痕处对应的点所表示的数可能是$\frac{19}{8}$或$\frac{7}{2}$或$\frac{37}{8}$.
18. (1)2 [解析]$\because 1$表示的点与$-1$表示的点重合,$\therefore$折痕处对应的点为原点.则$-2$表示的点与 2 表示的点重合.
(2)①$-2-\sqrt{3}$ [解析]$\because$折叠纸面,若使 1 表示的点与$-3$表示的点重合,则折痕处对应的点所表示的数为$-1$.设$\sqrt{3}$表示的点与数$a$表示的点重合,则$\sqrt{3}-(-1)=-1-a$,解得$a=-2-\sqrt{3}$.
②$-5,3$ [解析]$\because$数轴上$A,B$两点之间的距离为 8,$\therefore$数轴上$A,B$两点到折痕$-1$的距离为 4.$\because A$在$B$的左侧,$\therefore A,B$两点表示的数分别是$-5,3$.
(3)设折痕处对应的点所表示的数是$x$,
如图(1),当$AB:BC:CD=1:1:2$时，
设$AB=a,BC=a,CD=2a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{4},BC=\frac{9}{4},CD=\frac{9}{2}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{4}+\frac{9}{8}=\frac{19}{8}$;
如图(2),当$AB:BC:CD=1:2:1$时，
设$AB=a,BC=2a,CD=a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{4},BC=\frac{9}{2},CD=\frac{9}{4}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{7}{2}$;
如图(3),当$AB:BC:CD=2:1:1$时，
设$AB=2a,BC=a,CD=a$,
则$a+a+2a=9$,解得$a=\frac{9}{4}$,
$\therefore AB=\frac{9}{2},BC=\frac{9}{4},CD=\frac{9}{4}$,
$\therefore x=-1+\frac{9}{2}+\frac{9}{8}=\frac{37}{8}$.
综上所述,折痕处对应的点所表示的数可能是$\frac{19}{8}$或$\frac{7}{2}$或$\frac{37}{8}$.