1. 如图,在长方形纸片$ABCD$中,$AB=3$,$BC=4$,点$E$在边$CD$上,将$△ ADE$沿$AE$折叠,点$D$落在点$G$处,$EG$,$AG$分别交$BC$于点$F$,$H$,且$FE=FH$,则$AH$的长为(
A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{11}{5}$
C.$\frac{14}{5}$
D.$\frac{17}{5}$
D
).A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{11}{5}$
C.$\frac{14}{5}$
D.$\frac{17}{5}$
答案：1. D [解析]
∵在长方形纸片ABCD中,△ADE沿AE折叠,点D落在点G处,
∴∠G=∠D=∠C=90°.
在△GHF和△CEF中,$\begin{cases} ∠G=∠C, \\ ∠GFH=∠CFE, \\ FH=FE, \end{cases}$
∴△GHF≌△CEF(AAS),
∴CE=GH,CF=FG,
∴HC=GE.
设CE=x,则AH=4−x,DE=GE=HC=3−x,
∴BH=1+x.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得$3^2+(1+x)^2=(4−x)^2$,
解得$x=\frac{3}{5}$,
∴$AH=4−\frac{3}{5}=\frac{17}{5}$.故选D.
∵在长方形纸片ABCD中,△ADE沿AE折叠,点D落在点G处,
∴∠G=∠D=∠C=90°.
在△GHF和△CEF中,$\begin{cases} ∠G=∠C, \\ ∠GFH=∠CFE, \\ FH=FE, \end{cases}$
∴△GHF≌△CEF(AAS),
∴CE=GH,CF=FG,
∴HC=GE.
设CE=x,则AH=4−x,DE=GE=HC=3−x,
∴BH=1+x.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得$3^2+(1+x)^2=(4−x)^2$,
解得$x=\frac{3}{5}$,
∴$AH=4−\frac{3}{5}=\frac{17}{5}$.故选D.
2.（改编自《实验班 初中数学 几何模型》）如图，将长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使点D落在对角线AC上的点$D'$处.若$AB=4,BC=3$，则$EC=$
2.5
.答案：2. 2.5
3. (2025·徐州期中)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点$D'$处,折痕为EF.
(1)求证:$△ ABE≌△ AD'F$;
(2)若$AB=4\ \mathrm{cm},EF=5\ \mathrm{cm}$,求BC的长.
(1)求证:$△ ABE≌△ AD'F$;
(2)若$AB=4\ \mathrm{cm},EF=5\ \mathrm{cm}$,求BC的长.
答案：
3. (1)
∵四边形ABCD是长方形,
∴AB=CD,∠BAD=∠C=∠D=∠B=90°.
由折叠知,CD=AD',∠D=∠D',∠D'AE=∠C=90°,
∴AB=AD',∠B=∠D',∠BAD=∠EAD',
∴∠BAD−∠EAF=∠EAD'−∠EAF,
∴∠BAE=∠D'AF.
在△ABE和△AD'F中,$\begin{cases} ∠B=∠D', \\ AB=AD', \\ ∠BAE=∠D'AF, \end{cases}$
∴△ABE≌△AD'F(ASA).
(2)如图,过点F作FG⊥BC于点G,
又∠BAD=∠B=90°,
∴四边形ABGF是长方形,
四个角是直角的四边形是长方形
∴AB=CD=FG=4 cm,BG=AF.
在Rt△EFG中,∠EGF=90°,
∴$EF^2=EG^2+FG^2$,
∴$EG=\sqrt{EF^2−FG^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$(cm).
设DF=x cm,则D'F=x cm.
∵△ABE≌△AD'F,
∴BE=D'F=x cm,
∴AF=BG=BE+EG=(3+x)cm,
在Rt△AD'F中,∠AD'F=90°,
∴$AF^2=AD'^2+D'F^2$,
即$(3+x)^2=4^2+x^2$,解得$x=\frac{7}{6}$,
∴$BC=AD=AF+FD=3+x+x=3+\frac{7}{6}+\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$(cm).
∴BC的长为$\frac{16}{3}$ cm.
3. (1)
∵四边形ABCD是长方形,
∴AB=CD,∠BAD=∠C=∠D=∠B=90°.
由折叠知,CD=AD',∠D=∠D',∠D'AE=∠C=90°,
∴AB=AD',∠B=∠D',∠BAD=∠EAD',
∴∠BAD−∠EAF=∠EAD'−∠EAF,
∴∠BAE=∠D'AF.
在△ABE和△AD'F中,$\begin{cases} ∠B=∠D', \\ AB=AD', \\ ∠BAE=∠D'AF, \end{cases}$
∴△ABE≌△AD'F(ASA).
(2)如图,过点F作FG⊥BC于点G,
又∠BAD=∠B=90°,
∴四边形ABGF是长方形,
四个角是直角的四边形是长方形
∴AB=CD=FG=4 cm,BG=AF.
在Rt△EFG中,∠EGF=90°,
∴$EF^2=EG^2+FG^2$,
∴$EG=\sqrt{EF^2−FG^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$(cm).
设DF=x cm,则D'F=x cm.
∵△ABE≌△AD'F,
∴BE=D'F=x cm,
∴AF=BG=BE+EG=(3+x)cm,
在Rt△AD'F中,∠AD'F=90°,
∴$AF^2=AD'^2+D'F^2$,
即$(3+x)^2=4^2+x^2$,解得$x=\frac{7}{6}$,
∴$BC=AD=AF+FD=3+x+x=3+\frac{7}{6}+\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$(cm).
∴BC的长为$\frac{16}{3}$ cm.
4.如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm.若一只蚂蚁按图示从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为(
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
D
).A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.25 cm
答案：
4. D [解析]如图所示.
∵长方体的底面边长分别为9 cm和3 cm,高为7 cm,
∴PA=9+9+3+3=24(cm),QA=7 cm,
∴$PQ=\sqrt{PA^2+AQ^2}=\sqrt{24^2+7^2}=25$(cm).
∴蚂蚁爬行的最短路径长为25 cm.故选D.
4. D [解析]如图所示.
∵长方体的底面边长分别为9 cm和3 cm,高为7 cm,
∴PA=9+9+3+3=24(cm),QA=7 cm,
∴$PQ=\sqrt{PA^2+AQ^2}=\sqrt{24^2+7^2}=25$(cm).
∴蚂蚁爬行的最短路径长为25 cm.故选D.
5. 如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
15
cm.答案：5. 15
6. 新情境 用彩带装饰礼盒 如图，一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C'如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少厘米？
答案：
6. 如图,把长方体的面DCC'D'沿棱CD展开至面ABCD上,构成长方形ABC'D',则点A到点C'的最短距离为AC'的长度.
连接AC'交DC于点O,易证△AOD≌△C'OC.
∴OD=OC,即O为DC的中点.
在Rt△AD'C中,由勾股定理,得$AC'^2=AD'^2+D'C'^2=8^2+6^2=100$,
∴AC'=10 cm.
易验证把长方体的面DCC'D沿棱DD'展开至面A'ADD'上或把面BCC'B'沿棱BC展开至面ABCD上,得到的AC'＞10,
即从顶点A沿直线到DC(或A'B')的中点,再沿直线到顶点C',所用的彩带最短,最短长度为10 cm.
6. 如图,把长方体的面DCC'D'沿棱CD展开至面ABCD上,构成长方形ABC'D',则点A到点C'的最短距离为AC'的长度.
连接AC'交DC于点O,易证△AOD≌△C'OC.
∴OD=OC,即O为DC的中点.
在Rt△AD'C中,由勾股定理,得$AC'^2=AD'^2+D'C'^2=8^2+6^2=100$,
∴AC'=10 cm.
易验证把长方体的面DCC'D沿棱DD'展开至面A'ADD'上或把面BCC'B'沿棱BC展开至面ABCD上,得到的AC'＞10,
即从顶点A沿直线到DC(或A'B')的中点,再沿直线到顶点C',所用的彩带最短,最短长度为10 cm.