1.若直角三角形的面积为6 cm²，两直角边的差为1 cm，则它的斜边长为
5
cm.答案：1. 5 [解析]设两直角边长分别为 a cm,b cm(a＞b＞0).
∵直角三角形的面积为 6 cm²,
∴$\frac{1}{2}ab=6$,即 ab=12. 又两直角边的差为 1 cm,
∴a−b=1,
∴$a^2+b^2=(a−b)^2+2ab=1+24=25$,
∴它的斜边长为 5 cm.
∵直角三角形的面积为 6 cm²,
∴$\frac{1}{2}ab=6$,即 ab=12. 又两直角边的差为 1 cm,
∴a−b=1,
∴$a^2+b^2=(a−b)^2+2ab=1+24=25$,
∴它的斜边长为 5 cm.
2. 新情境 荡秋千 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度$BE=1\ \mathrm{m}$，将它往前推$6\ \mathrm{m}$至$C$处时(即水平距离$CD=6\ \mathrm{m}$)，踏板离地的垂直高度$CF=4\ \mathrm{m}$，它的绳索始终拉直，则绳索$AC$的长是(
A.$\dfrac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}$
B
).A.$\dfrac{21}{2}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}$
答案：2. B [解析]设绳索 AC 的长为 x m,在 Rt△ADC 中,AD=AB−BD=AB−(DE−BE)=x−(4−1)=(x−3)m,DC=6 m,AC=x m,$AD^2+DC^2=AC^2$,
∴$x^2=(x−3)^2+6^2$,解得 $x=\frac{15}{2}$,
∴绳索 AC 的长是$\frac{15}{2}$ m. 故选 B.
∴$x^2=(x−3)^2+6^2$,解得 $x=\frac{15}{2}$,
∴绳索 AC 的长是$\frac{15}{2}$ m. 故选 B.
3. 传统文化 《数书九章》（2025·常州溧阳期中）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是(
A.78平方里
B.80平方里
C.82平方里
D.84平方里
D
).A.78平方里
B.80平方里
C.82平方里
D.84平方里
答案：
3. D [解析]如图，过点 A 作$AD⊥BC$于点 D.
设$BD=x$里,则$CD=(14−x)$里,
在 Rt△ABD 中,$AD^2+x^2=13^2$,
在 Rt△ADC 中,$AD^2=15^2−(14−x)^2$,
∴$13^2−x^2=15^2−(14−x)^2$,解得 x=5.
→两个直角三角形中 AD 为公共边,由公共边相等列出等式
在 Rt△ABD 中,$AD=\sqrt{AB^2−BD^2}=\sqrt{13^2−5^2}=12$(里),
∴$△ABC$的面积=$\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×14×12=84$(平方里).故选 D.
3. D [解析]如图，过点 A 作$AD⊥BC$于点 D.
设$BD=x$里,则$CD=(14−x)$里,
在 Rt△ABD 中,$AD^2+x^2=13^2$,
在 Rt△ADC 中,$AD^2=15^2−(14−x)^2$,
∴$13^2−x^2=15^2−(14−x)^2$,解得 x=5.
→两个直角三角形中 AD 为公共边,由公共边相等列出等式
在 Rt△ABD 中,$AD=\sqrt{AB^2−BD^2}=\sqrt{13^2−5^2}=12$(里),
∴$△ABC$的面积=$\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×14×12=84$(平方里).故选 D.
4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AB = \sqrt{6}\ \mathrm{cm}, AC = \sqrt{2}\ \mathrm{cm}$, 点 $P$ 在线段 $BC$ 上, 当 $AP = BP$ 时, $AP$ 的长度为
$\dfrac{3}{2}$
$\mathrm{cm}$.答案：4. $\dfrac{3}{2}$
5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的$B'$处，点A的对应点为$A'$，且$B'C=3$，则AM的长是
2
。答案：5. 2 [解析]设$AM=x$,连接$BM,MB'$.
由题意知,$MB=MB'$,则有$AB^2+AM^2=BM^2=B'M^2=MD^2+DB'^2$,
即$9^2+x^2=(9−x)^2+(9−3)^2$,解得$x=2$,即$AM=2$.
由题意知,$MB=MB'$,则有$AB^2+AM^2=BM^2=B'M^2=MD^2+DB'^2$,
即$9^2+x^2=(9−x)^2+(9−3)^2$,解得$x=2$,即$AM=2$.
6. (2025·宿迁泗洪期中)如图(1),一个长方体容器,长、宽均为3,高为7,里面盛有水,水面高为5,若沿底面一棱进行旋转倾斜,倾斜后的长方体容器如图(2)所示,若倾斜容器使水恰好倒出容器,则CD=
5
。答案：
6. 5 [解析]如图.
设$DE=x$,则$AD=7−x$,
根据题意,得$\frac{1}{2}×(7−x+7)×3×3=3×3×5$,
解得$x=4$,$\therefore DE=4$.
$\because ∠E=90°$,
$\therefore$由勾股定理,得$CD=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
6. 5 [解析]如图.
设$DE=x$,则$AD=7−x$,
根据题意,得$\frac{1}{2}×(7−x+7)×3×3=3×3×5$,
解得$x=4$,$\therefore DE=4$.
$\because ∠E=90°$,
$\therefore$由勾股定理,得$CD=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
7.（2026·湖南衡阳祁东期末）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且BC=15米.
(1)求∠ABC的度数；
(2)现在这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，已知点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
(1)求∠ABC的度数；
(2)现在这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，已知点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长).
答案：7. (1)$\because AB^2+BC^2=20^2+15^2=625$,$AC^2=25^2=625$,
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,
$\therefore △ABC$是直角三角形,$∠ABC=90°$.
(2)设$AD=x$米,若点 D 恰好在边 AC 的垂直平分线上,
则$CD=AD=x$米,$BD=(20−x)$米.
在 Rt△BDC 中,$DC^2=BD^2+BC^2$,
$\therefore x^2=(20−x)^2+15^2$,解得$x=\frac{125}{8}$.
故这架无人机向下飞行的距离(AD 的长)为$\frac{125}{8}$米.
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,
$\therefore △ABC$是直角三角形,$∠ABC=90°$.
(2)设$AD=x$米,若点 D 恰好在边 AC 的垂直平分线上,
则$CD=AD=x$米,$BD=(20−x)$米.
在 Rt△BDC 中,$DC^2=BD^2+BC^2$,
$\therefore x^2=(20−x)^2+15^2$,解得$x=\frac{125}{8}$.
故这架无人机向下飞行的距离(AD 的长)为$\frac{125}{8}$米.