8. (2025·辽宁丹东东港期末)以直角三角形的三边为边,向这个直角三角形外作正方形,如果三个正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,且$S_1=4$,$S_2=18$,那么$S_3=$
22 或 14
.答案：8. 22 或 14 [解析]
∵以直角三角形的三边为边,向这个直角三角形外作正方形,
∴根据勾股定理结合正方形的面积可知$S_1+S_2=S_3$ 或 $S_2−S_1=S_3$,$\therefore S_3=4+18=22$ 或$S_3=18−4=14$.
∵以直角三角形的三边为边,向这个直角三角形外作正方形,
∴根据勾股定理结合正方形的面积可知$S_1+S_2=S_3$ 或 $S_2−S_1=S_3$,$\therefore S_3=4+18=22$ 或$S_3=18−4=14$.
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,若点$P$从点$A$出发,以每秒$2\ \mathrm{cm}$的速度沿折线$A—B—C—A$运动,设运动时间为$t$秒$(t＞0)$.
(1)若点$P$在$BC$上,且满足$PA=PB$,求此时$t$的值;
(2)若点$P$恰好在$∠ ABC$的平分线上,求此时$t$的值;
(3)在点$P$运动过程中,当$t$为何值时,$△ ACP$为等腰三角形.
(1)若点$P$在$BC$上,且满足$PA=PB$,求此时$t$的值;
(2)若点$P$恰好在$∠ ABC$的平分线上,求此时$t$的值;
(3)在点$P$运动过程中,当$t$为何值时,$△ ACP$为等腰三角形.
答案：
9. (1)如图(1),设$PB=PA=x$ cm,则$PC=(4−x)$ cm.
$\because ∠ACB=90°$,$AB=5$ cm,$BC=4$ cm,$\therefore AC=3$ cm.
在 Rt△ACP 中,$AC^2+PC^2=AP^2$,
$\therefore 3^2+(4−x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,
$\therefore BP=\frac{25}{8}$ cm,$\therefore t=\frac{AB+BP}{2}=\frac{5+\frac{25}{8}}{2}=\frac{65}{16}$.
(2)如图(2),过点 P 作$PD⊥AB$于点 D.
$\because BP$平分$∠ABC$,$∠C=90°$,$\therefore PD=PC$.
$\because BP=BP$,$\therefore Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)$,
$\therefore BC=BD=4$ cm,$\therefore AD=5−4=1$(cm).
设$PD=PC=y$ cm,则$AP=(3−y)$ cm.
在 Rt△ADP 中,$AD^2+PD^2=AP^2$,
$\therefore 1^2+y^2=(3−y)^2$,解得$y=\frac{4}{3}$,$\therefore CP=\frac{4}{3}$ cm,
$\therefore t=\frac{AB+BC+CP}{2}=\frac{5+4+\frac{4}{3}}{2}=\frac{31}{6}$;
当点 P 与点 B 重合时,点 P 也在$∠ABC$的平分线上,
此时,$t=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$.综上所述,点 P 恰好在$∠ABC$的平分线上时,t 的值为$\frac{31}{6}$或$\frac{5}{2}$.
(3)分四种情况讨论:
①如图(3),当 P 在 AB 上,且$AP=CP$时,
则$∠A=∠ACP$,而$∠A+∠B=90°$,$∠ACP+∠BCP=90°$,$\therefore ∠B=∠BCP$,$\therefore CP=BP$,
$\therefore P$ 是 AB 的中点,即$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$ cm,
$\therefore t=\frac{AP}{2}=\frac{5}{4}$;
②如图(4),当 P 在 AB 上,且$AP=CA=3$ cm 时,
$t=\frac{AP}{2}=\frac{3}{2}$;
③如图(5),当 P 在 AB 上,且$AC=PC$时,过点 C 作$CD⊥AB$于点 D,则$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{12}{5}$ cm,
∴在 Rt△ACD 中,$AD=\frac{9}{5}$ cm,
$\therefore AP=2AD=\frac{18}{5}$ cm,$\therefore t=\frac{AP}{2}=\frac{9}{5}$;
④如图(6),当 P 在 BC 上,且$AC=PC=3$ cm 时,$BP=4−3=1$(cm),$\therefore t=\frac{AB+BP}{2}=\frac{6}{2}=3$.综上所述,当$t=\frac{5}{4}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{5}$或 3 时,$△ACP$为等腰三角形.
9. (1)如图(1),设$PB=PA=x$ cm,则$PC=(4−x)$ cm.
$\because ∠ACB=90°$,$AB=5$ cm,$BC=4$ cm,$\therefore AC=3$ cm.
在 Rt△ACP 中,$AC^2+PC^2=AP^2$,
$\therefore 3^2+(4−x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,
$\therefore BP=\frac{25}{8}$ cm,$\therefore t=\frac{AB+BP}{2}=\frac{5+\frac{25}{8}}{2}=\frac{65}{16}$.
(2)如图(2),过点 P 作$PD⊥AB$于点 D.
$\because BP$平分$∠ABC$,$∠C=90°$,$\therefore PD=PC$.
$\because BP=BP$,$\therefore Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)$,
$\therefore BC=BD=4$ cm,$\therefore AD=5−4=1$(cm).
设$PD=PC=y$ cm,则$AP=(3−y)$ cm.
在 Rt△ADP 中,$AD^2+PD^2=AP^2$,
$\therefore 1^2+y^2=(3−y)^2$,解得$y=\frac{4}{3}$,$\therefore CP=\frac{4}{3}$ cm,
$\therefore t=\frac{AB+BC+CP}{2}=\frac{5+4+\frac{4}{3}}{2}=\frac{31}{6}$;
当点 P 与点 B 重合时,点 P 也在$∠ABC$的平分线上,
此时,$t=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$.综上所述,点 P 恰好在$∠ABC$的平分线上时,t 的值为$\frac{31}{6}$或$\frac{5}{2}$.
(3)分四种情况讨论:
①如图(3),当 P 在 AB 上,且$AP=CP$时,
则$∠A=∠ACP$,而$∠A+∠B=90°$,$∠ACP+∠BCP=90°$,$\therefore ∠B=∠BCP$,$\therefore CP=BP$,
$\therefore P$ 是 AB 的中点,即$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$ cm,
$\therefore t=\frac{AP}{2}=\frac{5}{4}$;
②如图(4),当 P 在 AB 上,且$AP=CA=3$ cm 时,
$t=\frac{AP}{2}=\frac{3}{2}$;
③如图(5),当 P 在 AB 上,且$AC=PC$时,过点 C 作$CD⊥AB$于点 D,则$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{12}{5}$ cm,
∴在 Rt△ACD 中,$AD=\frac{9}{5}$ cm,
$\therefore AP=2AD=\frac{18}{5}$ cm,$\therefore t=\frac{AP}{2}=\frac{9}{5}$;
④如图(6),当 P 在 BC 上,且$AC=PC=3$ cm 时,$BP=4−3=1$(cm),$\therefore t=\frac{AB+BP}{2}=\frac{6}{2}=3$.综上所述,当$t=\frac{5}{4}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{5}$或 3 时,$△ACP$为等腰三角形.
10.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分△ABC的外角∠ACD,且EF//BC交AC于点M,若CM=4,则$CE^2 + CF^2$的值为(
A.8
B.16
C.32
D.64
D
).A.8
B.16
C.32
D.64
答案：10. D
11. (2025·河北邯郸武安期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=2$,$BC=4$.分别以$AB$,$AC$,$BC$为边在$AB$的同侧作正方形$ABEF$,$ACPQ$,$BCMN$,四块阴影部分的面积分别为$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4$等于(
A.12
B.14
C.16
D.18
A
).A.12
B.14
C.16
D.18
答案：11. A
12. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若$AD=3$，$BC=8$，则$AB^2 + CD^2 =$
73
。答案：12. 73 [解析]$\because BD⊥AC$,
$\therefore ∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°$.
在 Rt△COB 和 Rt△AOD 中,根据勾股定理,得$BO^2+CO^2=CB^2$,$OD^2+OA^2=AD^2$,
$\therefore CB^2+AD^2=BO^2+CO^2+OD^2+OA^2=64+9=73$.
$\because AB^2=BO^2+AO^2$,$CD^2=OC^2+OD^2$,
$\therefore AB^2+CD^2=BO^2+AO^2+OC^2+OD^2=(BO^2+OC^2)+(AO^2+OD^2)=CB^2+AD^2=73$.
$\therefore ∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°$.
在 Rt△COB 和 Rt△AOD 中,根据勾股定理,得$BO^2+CO^2=CB^2$,$OD^2+OA^2=AD^2$,
$\therefore CB^2+AD^2=BO^2+CO^2+OD^2+OA^2=64+9=73$.
$\because AB^2=BO^2+AO^2$,$CD^2=OC^2+OD^2$,
$\therefore AB^2+CD^2=BO^2+AO^2+OC^2+OD^2=(BO^2+OC^2)+(AO^2+OD^2)=CB^2+AD^2=73$.
13.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,点B在EF上,$S_1=140$,$S_2=124$,求EB的长.
答案：13. 设$△ABE$的面积为 S. $\because S_{正方形ABCD}=S+S_1=S+140$,
$S_{正方形AEFG}=S+S_2=S+124$, 而 $S_{正方形ABCD}=AB^2$,
$S_{正方形AEFG}=AE^2$,$\therefore AB^2−AE^2=140−124=16$.
在 Rt△ABE 中,$BE^2=AB^2−AE^2=16$,$\therefore BE=4$.
$S_{正方形AEFG}=S+S_2=S+124$, 而 $S_{正方形ABCD}=AB^2$,
$S_{正方形AEFG}=AE^2$,$\therefore AB^2−AE^2=140−124=16$.
在 Rt△ABE 中,$BE^2=AB^2−AE^2=16$,$\therefore BE=4$.