1.（2026·四川内江期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从点M沿盒子的表面爬行到点A的最短距离为（
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{14}$
D.$\sqrt{17}$
B
）。A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{14}$
D.$\sqrt{17}$
答案：
1. B [解析]如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短。
∵BC=2,M为BC的中点,
∴MD=3,AD=2,
∴AM=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.故选B.
1. B [解析]如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短。
∵BC=2,M为BC的中点,
∴MD=3,AD=2,
∴AM=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.故选B.
2. (2026·甘肃兰州红古区期末)如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3 cm，高为10 cm.在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为(
A.24 cm
B.25 cm
C.26 cm
D.27 cm
C
).A.24 cm
B.25 cm
C.26 cm
D.27 cm
答案：
2. C [解析]如图,将长方体的侧面沿AB展开,取A'B'的中点C,取AB的中点C',连接B'C',AC,则AC+B'C'为所求的最短彩条长。
∵$AC^2=AA'^2+A'C^2=169$,
∴AC=13 cm.
∵$B'C'^2=BB'^2+C'B^2=169$,
∴B'C'=13 cm,
∴AC+B'C'=26 cm.
故所用彩条最短长度是26 cm.故选C.
2. C [解析]如图,将长方体的侧面沿AB展开,取A'B'的中点C,取AB的中点C',连接B'C',AC,则AC+B'C'为所求的最短彩条长。
∵$AC^2=AA'^2+A'C^2=169$,
∴AC=13 cm.
∵$B'C'^2=BB'^2+C'B^2=169$,
∴B'C'=13 cm,
∴AC+B'C'=26 cm.
故所用彩条最短长度是26 cm.故选C.
3.如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC=6，点P移动的最短距离为5，求圆柱的底面周长。
答案：
3. 如图,连接AS，
在圆柱的侧面展开图ABCD中,BC=6,BC⊥AB.
∵点P移动的最短距离为5,
∴AS=5.
∵S是BC的中点,
∴$BS=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$,
∴$AB=\sqrt{AS^2-BS^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴圆柱的底面周长为2AB=2×4=8.
3. 如图,连接AS，
在圆柱的侧面展开图ABCD中,BC=6,BC⊥AB.
∵点P移动的最短距离为5,
∴AS=5.
∵S是BC的中点,
∴$BS=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$,
∴$AB=\sqrt{AS^2-BS^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴圆柱的底面周长为2AB=2×4=8.
4.如图,某国道通过A,B两个村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道,已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村的距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?
答案：
4. 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则这条水泥路的最短距离为CD的长度。
在△ABC中,AC=6 km,BC=8 km,AB=10 km,
则$6^2+8^2=10^2$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,
∴△ABC为直角三角形.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$(km).故这条水泥路的最短距离为4.8 km.
4. 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则这条水泥路的最短距离为CD的长度。
在△ABC中,AC=6 km,BC=8 km,AB=10 km,
则$6^2+8^2=10^2$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,
∴△ABC为直角三角形.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$(km).故这条水泥路的最短距离为4.8 km.
5. (2026·河南濮阳期末改编)如图,等腰三角形ABC的底边BC长为2,AB=4,腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,求CM+DM的最小值.
答案：
5. 如图,连接AD,MA.
∵△ABC是等腰三角形,D是边BC的中点,BC=2,
∴AD⊥BC,BD=1.
∵AB=4,
∴由勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC,
∴MC+DM=MA+DM≥AD,
∴CM+DM的最小值为AD,为$\sqrt{15}$.
5. 如图,连接AD,MA.
∵△ABC是等腰三角形,D是边BC的中点,BC=2,
∴AD⊥BC,BD=1.
∵AB=4,
∴由勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC,
∴MC+DM=MA+DM≥AD,
∴CM+DM的最小值为AD,为$\sqrt{15}$.